wierzcholki kwadratu mario: W prostej o równaniu 2x+y−6=0 zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu x²+y²−2y−4=0 . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu. Ma ktoś pomysł na to zadanie ?

Aga1.:

Gustlik: x²+y²+Ax+By+C=0 x²+y²−2y−4=0

	A		0
a=−		=−		=0
	2		2

	B		−2
b=−		=−		=1
	2		2

r=√a²+b²−C=√0²+1²−(−4)=√1+4=√5 S=(0, 1), r=√5 bok kwadratu = 2r=2√5 2x+y−6=0 y=−2x+6 Szukam prostej prostopadłej do danej i przecodzącej przez środek okręgu:

	1
y=		x+b
	2

	1
1=		*0+b
	2

b=1

	1
y=		x+1
	2

Szukam punktu styczności okręgu z daną prostą − będzie to punkt przecięcia tych prostych: { y=−2x+6

	1
{ y=		x+1
	2

	1
−2x+6=		x+1 /*2
	2

−4x+12=x+2 −5x=−10 /:(−5) x=2 y=−2*2+6 y=2 P=(2, 2) Korzystam z tego, że wektor w^→=[1, a] oraz jego iloczyn przez dowolną liczbę k, czyli [k, ka] jest równoległy do prostej y=ax+b Zatem dla prostej y=−2x+6 tym wektorem będzie w^→=[1, −2] oraz v^→=[k, −2k] Liczę długości tych obu wektorów, aby obliczyć k: |w|=√1²+(−2)²=√5 |v|=√k²+(−2k)²=k√5 v^→=PA^→=r⁼[k, −2k] Przyrównuję długości r=|v| |k√5|=√5 k=1 (PA^→) v k=−1 (PB^→) (zwrot) PA^→=[1, −2] P=(2, 2) PA^→=A−P ⇒ A=PA^→+P A=[1, −2]+(2, 2)=(3, 0) PB^→=−PA^→=[−1, 2] B=P+PB*→=(2, 2)+[−1, 2]=(1, 4) Korzystam z tego, że wektor u^→[A, B] i [kA, kB] jest prostopadły do prostej Ax+By+C=0 2x+y−6=0 Wektor prostopadły to u=[2, 1] i u'=[2k, k] Liczę długości tych wektorów |u|=√2²+1²=√5 |u'|=√(2k)²+k²=k√5 |u'|=2r=2√5 |k√5|=2√5 k=2 v k=−2 przyjmę k=−2, bo wektor ma zwrot w lewo i w dół, a więc musi mieć ujemne współrzędne u'^→=[−4, −2]=BC^→=AD^→ C=B+BC^→=(1, 4)+[−4, −2]=(−3, 2) D=A+AD^→=(3, 0)+[−4, −2]=(−1, −2)