Wszystko, różne Zuzu: 1. W ciągu arytmetycznym a n+1= an + , a1=−12. Ile wynosi a5? 2. Wyrażenie ||x−2| + 2x − 4| dla x<2 jest równe? Proszę o pomoc

Kaja: 2. ||x−2|+2x−4|=|−x+2+2x−4|=|x−2|=−x+2 co do 1. to sprawdź co ma być po a_n+

Zuzu: a n +3 dzięki wielkie za to 1

Kaja: a_n+1=a_n+3 a_n+1−a_n=3 ale a_n+1−a_n jest to różnica między dwoma kolejnymi wyrazami (oznaczamy ją r) zatem r=3 a₅=a₁+4r a₅=−12+4*3=0

Zuzu: a współczynnik kierunkowy m prostej y= mx−2, rpostopadłej do prostej √3x−9y+4=0, ma wartość?

Kaja: a jaki jest współczynnik kierunkowy tej drugiej prostej?

Zuzu: √3 ?

5-latek: Postac ogolna prostej zanien na postac kierunkowa czyli postac A_x+b_y+C=0 na postac y=ax+b i ztego juz latwo wyliczc wspolczynnik m No to liczymy tutaj

Zuzu: więc pytam, czy jest to √3?

Kaja: nie

Kaja: najpierw przkształć ją do postaci y=...

Zuzu: okej

5-latek: Nie to nie jest √3 . Nie zgaduj tylko policz OK?

Zuzu: m * √3/9 = −1 ?

Kaja: dobrze, taki warunek mają spełniac współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych. i wylicz z tego m.

Zuzu: m= −3√3 ?

Kaja: tak

5-latek: Pytaj Zuzu jeszce dopoki masz szanse bo masz przed soba dobra nauczycielke

Kaja:

Zuzu: Kaja, będziesz jeszcze przez najbliższą godzinę?

Kaja: za niedługo będę miała chyba obiad, ale jak teraz jeszcze czegoś potrzebujesz to pisz

Zuzu: zaraz się zjawię z pytaniami

Zuzu: Pole podstawy stożka wynosi 25π, a tworząca tworzy z podstawą kąt o mierze 30*. Podaj długość tworzącej..?

Kaja: wylicz promień podstawy (znasz wzorek na pole koła?)

Zuzu: r=5?

Kaja: tak

Zuzu: teraz z trygonometrii?

Kaja: teraz narysuj sobie ten stożek i zaznacz kąt między tworzącą stożka a promieniem podstawy (to jest ten kąt 30^o)

Kaja: tak z trygonometrii

Zuzu: cos30?

Kaja: tak

Zuzu: Odp to 10√3/3?

Kaja: tak. super

Zuzu: Kolejne: 1. Ze wszystkich liczb całkowitych należących do zbioru A= {x ∊ C: x > 15 i x ≤ 23} Losujemy jedną. Prawdopodobieństwo, że będzie to liczba pierwsza wynosi? 2. Rzucamy czworościenną kostką której ściany mają numery 2.3.6.8 Wynik rzutu to numer ściany, na której padnie kostka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucając dwa razy, suma będzie liczbą parzystą

Zuzu:

Kaja: 1. wypisz wszystkie liczby należące do zbioru A

Zuzu: właśnie mam z tym problem: A { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 24 25 26 .. aż do?

Kaja: nie za bardzo, popatrz na warunki − to mają byc liczby całkowite większe od 15 i mniejsze bądź równe 23. spróbuj je jeszcze raz wypisać

Zuzu: AAAAAAA! pokręciłam znaki! A: { 16 17 18 19 20 21 22 23 } ?

Kaja: ok. tylko po A daj = a nie dwukropek. no i to jest Ω

Zuzu: to jest moc Ω, do zbioru a należą = { 17 19 23} Prawdopodobieństo = 3/7?

Kaja: i teraz oznacz sobie jakąś dużą literką (np. B) zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby pierwszej. czyli B={...} i w tym B wypisz wszystkie liczby pierwsze należące do tego zbiorku A który wypisałaś (czyli tej omegi).

Kaja:

3
8

Kaja: Zuzu idę na obiad, poczekaj chwilkę

Zuzu: drobny błąd, wybacz mi roztrzepanie

Zuzu: okej

Kaja: jestem no to 2. wypisz najpierw Ω (pamiętaj że rzucamy dwa razy, czyli elementami Ω będą pary ( , ), gdzie przed przecinkiem jest wynik pierwszego rzutu, a po przecinku wynik drugiego)

Zuzu: Elementy Ω: (2,6) (2,8) (6,8) ?

Kaja: mało. przeciez możan za pierwszym razem wyrzucić 2 i za drugim też

Kaja: żeby się nie pogubic wypisz sobie najpierw wszystkie zdarzenie w których za pierwszym razem wypadnie 2

Zuzu: i jeszcze (2,2) (6,6) (3,3) (8.8) ?

Kaja: czyli Ω={(2,2), (2,3), (2,6), (2,8),....} potem wszystkie w których za pierwszym razem wypadnie 3 itd.

Kaja: spróbuj to wypisac tym systemem. powinno tego być 16

Zuzu: aaa bo ja chciałam wypisać tylko te, których suma daje liczbę parzystą

Kaja: na razie wypisz całą omegę (rób porządnie zadanka

Zuzu: 2.2 2.3 2.6 2.8 3.2 3.3 3.6 3.8 6.2 6.3 6.6 6.8 8.2 8.3 8.6 8.8 jest 16

Kaja: super, tylko zapisz to porządnie czyli Ω={(2,2),(2,3),....,(8,8)} dobra, a teraz niech A to będzie zdarzenie polegające na tym że suma będzie parzysta,czyli znów A={...} i wypisuj z omegi te których suma jest parzysta

Kaja: napisz sobie jeszcze moc omegi: |Ω|=16 a potem moc A: |A|=...

Zuzu: |A|= 10?

Kaja: tak

Kaja: i teraz policz prowdopodobieństwo

Zuzu: P(A)= 5/8?

Kaja: tak

Zuzu: Mogę kolejne?

Zuzu: Rozwiąż nierówność : 3|3/2 x − 6| + 11 ≥ 40/3 Zał: 3/2x−6 ≥ 0 3/2x−6<0 x≥4 x<4 Dobrze?

Kaja: a po co takie założenie?

Kaja: chyba że chcesz to rozwiązać w dwóch przypadkach, tak?

Zuzu: a mogę inaczej?

Kaja: popatrz, na razie nie trzeba opuszczac tej wartości bezwzglednej. mozna wykonac inne przekształcenia:

	40
3|32x−6|≥		−11
	3

	7
3|32x−6|≥		/*13
	3

	7
|32x−6|≥
	9

i teraz mozna to rozpisac tak:

	7		7
32x−6≤−		lub 32x−6≥
	9		9

i dalej rozwiąz. ogólnie jesli a≥0 i |x|≥a, to mozna to rozpisac na :x≤−a lub x≥a jesli a≥0 i |x|≤a, to można to rozpisać na x≥−a i x≤a

Zuzu: Mam jeszcze kilka, pomożesz mi?

Kaja: mam jeszcze trochę czasu to pisz. Jestes może w klasie maturalnej?

Zuzu: Rozwiązanie: x≥ 122/27 v x≤94/27 ?

Zuzu: niestety tak

Kaja: dobre rozwiązanie. może sobie je zapisac w postaci sumy przedziałów:

	94		122
x∊(−∞;		>∪<		;+∞)
	27		27

Kaja: a te zadanka które tu wrzucasz masz jakoś na zadanie?

Zuzu: 1. uzasadnij, że jeżeli a−b= 3 i a*b=10 to (a²+b²)²= 841 ? 2. Udowodnij, że iloczyn dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą. 3. Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)= log₂(x²+7x−8).

Zuzu: Nie, dostałam od koleżanki ale nie umiem sobie z nimi poradzić..

Kaja: zacznę może od zad.3. jesli mamy funkcje logarytm, to co zakładamy o podstawie logarytmu, co zakłądamy o liczbie logarytmowanej?

Zuzu: nie wiem?

Kaja: ale rozwiązujesz to dal siebie, czy po prostu koleżance chcesz pomóc rozwiązać?

Zuzu: dla siebie..

Kaja: podstawa logarytmu ( w tym przypadku akurat 2) musi być większa od zera i różna od 1. no to u nas akurat jest ok. bo 2>0 i 2≠1. natomiast liczba logarytmowana (czyli u nas x²+7x−8) musi byc wieksza od zera. czyli nalezy założyć, że x²+7x−8>0. rozwiąż dalej...

Kaja: no to fajnie że dla siebie

Kejt: 2. 2n − gdzie n∊ℤ będzie zawsze liczbą parzystą zatem 2n+1 będzie zawsze liczbą nieparzystą 2n−1 i 2n+1 to dwie kolejne liczby nieparzyste (2n−1)(2n+1)=4n²−1 4n² jest zawsze liczbą parzystą, więc 4n²−1 będzie zawsze liczbą nieparzystą c.n.u. mam nadzieję, że nie popsułam zabawy

Zuzu: x> 1 i x> −8 ?

Kaja: Zuzu potem przeanalizuj sobie to 2. zadanie które rozwiązała Kejt i napisz czy rozumiesz, czy chcesz żeby ci to jeszcze wytłumaczyć.

Zuzu: Rozumiem, dziękuję Wam za pomoc bo serio zależy mi, żeby porobić coś ambitniejszego niżeli zadania z mojego podręcznika

Zuzu: Kaja, a moja odpowiedź jest dobra?

Kaja: nie za bardzo. narysu oś, zaznacz miejsca zerowe (−8 i 1), narysuj parabolę. rozwiązaniami będą te x, dla kórych parabola jest nad osią Ox.

Zuzu: ale to nie był koniec tylko wyliczone mniejsca zerowe!

Zuzu: a ostateczna odp: x∊ (−∞ ; −8) u (1 ; +∞ ) ?

Kaja: w takim razie po co były te znaki nierówności? jak liczysz miejsca zerowe to zapisuj je x₁=−8 x₂=1

Kaja: a x faktycznie należy do takiej sumy więc teraz tylko zapisz dziedzinę

Zuzu: czyli to nie to co napisałam wyżej?

Kaja: dziedziną będzie właśnie taka suma przedziału, tylko po prostu zapisz D=(−∞;−8)∪(1;+∞)

Zuzu: Zapisałam Możemy jeszcze tamto?

Kaja: no i zadanie 1. jest taki wzór skróconego mnożenia (a−b)²=a²−2ab+b² stąd a²+b²=(a−b)²+2ab zatem (a²+b²)²=[(a−b)²+2ab]²=[3²+2*10]²=29²=841

Zuzu: Jesteście boskie dziewczyny! Bardzo Wam dziękuję a w szczególności Tobie Kaja!

Kaja: proszę

5-latek: A mnie za post z 12:33 to nie podziekujesz

Kejt: nie ma sprawy

Zuzu: PRZEPRASZAM 5−latek! zapomniałam w tym chaosie! Dziękuję również Tobie!

5-latek:

Kejt: zazdrośnica

Zuzu:

Zuzu: mam następne zadania ale to może na jutro?

5-latek: Ja to moze byc miło

Kaja: ja mam jeszcze czas więc możesz pisać

Kejt: ja też

5-latek: Kejt ale i tak 100 post jest Twoj

Zuzu: Trzy liczby których suma wynosi 21 tworzy ciąg arytmetyczny rosnący. Jeżeli pierwszą i drugą zwiększymy o 1 a trzecią o 5 to utworzą one ciąg geometryczny. Jakie to liczby?

Kaja: oznaczmy te liczby przez x, y, z. po zwiększeniu będą to liczby: x+1, y+1, z+5. x+y+z=21 y−x=z−y (bo one tworzą ciąg arytmetyczny) (y+1)²=(x+1)(z+5) (bo tworzą ciąg geometryczny)

Kaja: weź sobie w układ te trzy równania i rozwiąż

Zuzu: ?

Zuzu: okej

Kejt: a₁+a₂+a₃=21 skoro jest to ciąg arytmetyczny, to: a₂=a₁+r a₃=a₁+2r ma być rosnący, więc r>0 zatem, po podstawieniu: a₁+a₁+r+a₁+2r=21 3a₁+3r=21 a₁+r=7 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a₁+1; a₂+1, a₃+5 tworzą ciąg geometryczny.. znowu podstawiamy...: a₁+1;a₁+r+1,a₁+2r+5 − ciąg geometryczny korzystamy z własności ciągu geometrycznego: (a_n)²=a_n−1*a_n+1 podstawiamy nasze dane: (a₁+r+1)²=(a₁+1)*(a₁+2r+5) + to równanie z pierwszej części, i mamy układ: (a₁+r+1)²=(a₁+1)*(a₁+2r+5) a₁+r=7 można go nieco uprościć, podstawiając w odpowiednie miejsca pierwszego równania, drugie: wobec czego otrzymujemy: (7+1)²=(a₁+1)*(7+r+5) a₁+r=7 do rozwiązania

Zuzu: nie wyszło mi.

Kaja: tam na początku dopisz sobie jeszcze (x,y,z,) − ciąg arytmetyczny rosnący (x+1,y+1,z+5) −ciąg geometryczny

Kejt: próbuj z moim prościej chyba

Zuzu: Kejt ! <3

Kaja: to popatrz: x+y+z=21 y−x=z−y (y+1)²=(x+1)(z+5) x+y+z=21 2y=x+z (y+1)²=(x+1)(z+5) 2y+y=21 2y=x+z (y+1)²=(x+1)(z+5) 3y=21 /:3 2y=x+z (y+1)²=(x+1)(z+5) y=7 14=x+z 64=(x+1)(z+5) y=7 z=14−x 64=(x+1)(19−x) 64=19x−x²+19−x x²−18x+45=0 Δ=144 √Δ=12 x₁=3 x₂=15 z₁=11 z₂=−1 odp. 3,7,11

Kaja: to drugie rozwiązanie odpada, bo liczby 15, 7, −1 nie tworzą w podanej kolejności ciągu rosnącego

Zuzu: Wyszło

Kejt: super

Kaja: