calka natalia: Oblicz całkę ∫ od 0 do 1 (1−x²)ⁿ dx

fx: Wyznacz wpierw całkę nieoznaczoną, następnie skorzystaj z definicji całki oznaczonej.

Godzio: x = sint ⇒ dx = costdt

	π
In = ∫(1 − sin2t)ncostdt = ∫cos2n+1t dt granice całkowania są od 0 to
	2

I_n = ∫cos²ⁿt * (sint)' dt = cos²ⁿtsint + 2n∫cos^{2n − 1}t * sin²tdt = = cos²ⁿtsint + 2n∫cos^{2n − 1}t * (1 − cos²t)dt = = cos²ⁿtsint + 2n∫cos^{2n − 1}t − 2n∫cos²ⁿ⁺¹dt = = cos²ⁿtsint + 2n * I_{n −1} − 2n * I_n cos²ⁿtsint |₀^π/2 = 0 więc otrzymujemy

	2n
In =		In − 1
	1 + 2n

Dalszą część pozostawiam Tobie, pociągnij rekurencję dalej, wyznacz I₁ i wynik gotowy

daras:

	(1+x2)n+1		2n+3
= −		+		∫(1−x2)n+1 dx
	2(n+1)		2(n+1)

chyba coś takiego ale najlepiej sprawdź w tablicach

natalia: znalazlam jeszcze cos takiego ^{(2n)! !}_{(2n+1)! !} czy to jest to samo co napisaliscie?

natalia: jak mam rozumieć ten znak podwojnej silni..

Godzio:

(2n)! !		2n * (2n − 2) * (2n − 4) * ... * 2
	=
(2n + 1)! !		(2n + 1) * (2n − 1) * ... * 1

Ten iloczyn otrzymasz rozpisując moją rekurencję