nierownosci zadanie: Czy nierównosc log_ab<log_ba jest prawdziwa dla a) a=2 b=5 ; NIE b) a=0,2 b=0,5 ; TAK c) a=0,2 b=5 ; NIE d) a=0,22 b=5 ? TAK a) log₂5<log₅2 sprzecznosc (bo mniejsza podstawa i wieksza liczba logarytmowana wiec lewa strona jest wieksza) a pozostale?

matyk: Skorzystaj z tego, że:

	1
loga b=
	logb a

zadanie: moglbym prosic o wzorcowe rozwiazanie podpunktu c) ?

dan: Log₆4 16

Saizou :

	1		1
log		5<log5
	5		5

log_5⁻¹5<log₅5⁻¹ −log₅5<−log55 −1<−1 nie sądzę

Kejt: c)

	1
0,2=
	5

log_ab=log_1/55=−1

	1
logba=log50,2=log5		=log55−1=−1
	5

nie wiem, czy wzorcowe, ale..

5-latek: log_0,25=log_1/55=log₅⁻¹5=−1log₅5=−1

	1
log5 02=lg5		= −1
	5

To do c)

Panko: Rozwiążmy całościowo. Oznaczmy x=log_ab i stosując log_ba= 1/log_ab Dziedzina nierówności : a,b∊ (0,1) ∪ (1,∞) wtedy log_ab<log_ba ⇔ x<1/x ⇔ 0 < (1−x²)x ⇔x∊(−∞,−1)∪(0,1) stąd log_ab<log_ba ⇔ log_ab < −1 ⋁ 0 < log_ab <1 ................................................................................ kolejno log_ab< log_aa⁻¹ ⇔( a∊(0,1) ⋀ b> a⁻¹ ) ⋁ ( a∊(1,∞) ⋀ b< a⁻¹ ) następny 0 < log_ab <1 ⇔ log_a1 <log_ab < log_aa stąd ( a∊(0,1) ⋀ 1>b> a ) ∨ ( a∊(1,∞) ⋀ 1<b<a ) ................................................................................... R O Z W I Ą Z A N I E log_ab<log_ba ⇔( a∊(0,1) ⋀ b> a⁻¹ ) ⋁ ( a∊(1,∞) ⋀ b< a⁻¹ ) ⋁ ( a∊(0,1) ⋀ 1>b> a ) ∨ ( a∊(1,∞) ⋀ 1<b<a ) korzystając z tautologii ( p⋀q) ⋁(p⋀s) ⇔p⋀(q⋁s) dostajemy log_ab<log_ba ⇔[a∊(0,1) ⋀( b> a⁻¹ ⋁ 1>b> a )] ⋁[ a∊(1,∞) ⋀(b< a⁻¹ ⋁ 1<b<a )]

Panko: Korekta W ostatecznym rozwiązaniu należy uwzględnić jeszcze warunek b∊R−{1}

utem: log_ab<log_ba⇔ log_ab−log_ba<0

logb		loga
	−		{b}<0
loga		log

log2b−log2a
	<0 ⇔
loga*logb

b   log *log(ab)   a
	<0 badamy kiedy zachodzi nierówność
loga*logb

	5   log *log(10)   2
a)		>0
	log2*log5

odp. nie b) a=0,2 b=0,5

5   log *log(0,1)   2
	<0 bo log(0,1)<0, log(0,2)*log(0,5)>0,log(2,5)>0
log(0,2)*log(0,5)

odp. Tak c)a=0,2 b=5

5   log *log(1)   0,2
	=0
log(0,2)*log5

odp. Nie d) a=0,22 b=5

5   log *log(1,1)   0,22
	<0 tak
log(0,22)*log5

log(0,22)<0, pozostałe wyrazy dodatnie