liczby zadanie: Dla podanej liczby naturalnej k podac najwieksza liczbe całkowita dodatnia d, dla której prawdziwe jest nastepujace zdanie: Dla dowolnych liczb całkowitych m, n, jezeli iloczyn mn jest podzielny przez k, to co najmniej jedna z liczb m, n jest podzielna przez d. a) k =2⁵*3³, d =......................... ; b) k =3⁵*5³, d =......................... ; c) k =12², d =......................... ; d) k =12³, d =......................... . kImn⇒dIm⋁dIn nie wiem jak to zrobic

zadanie: prosze o pomoc

zadanie: ?

zadanie: ?

Vax: Jeżeli k = p₁^a₁ * p₂^a₂ * .. * p_k^a_k to takie d wynosi p₁^[a₁/2] * p₂^[a₂/2]*...*p_k^[a_k/2] gdzie [x] to sufit z x, czyli najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza niż x. Czyli np w a) mamy d = 2³ * 3²

Vax: Aj sorry, nie do końca przeczytałem treść zadania i trochę na inne pytanie odpowiedziałem, w tym zadaniu będzie inaczej, ale o tym napiszę później, bo teraz już nie mam czasu

zadanie: dobrze bede czekac

zadanie: ?

Vax: Ok, a więc jeżeli k = p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * p_t^a_t, gdzie p₁ < p₂ < ... , p_t to liczby pierwsze, to d = p_t^[a_t/2], gdzie [x] − sufit z x. Czemu ? Na początku zauważmy, że w rozkładzie na czynniki pierwsze d nie mogą znaleźć się 2 różne liczby pierwsze. Załóżmy nie wprost, że d = p_x^b₁ * p_y^b₂ * c, dla pewnego c gdzie 1 ≤ b₁ ≤ a_x oraz 1 ≤ b₂ ≤ a_y

	k
Ale przyjmijmy wówczas m = pxax oraz n =		. Wówczas żadna z m,n nie dzieli się przez
	m

d (gdyż m nie dzieli się przez p_y, a n nie dzieli się przez p_x) sprzeczność. Pozostaje zauważyć, że dowolna liczba pierwsza p_k może wchodzić w rozkład d maksymalnie z

	ak
wykładnikiem [		]. Na początku pokażemy, że dla takiego d teza zachodzi. Istotnie,
	2

	ak
załóżmy nie wprost, że obie liczby m,n mają wykładniki przy pk nie większe niż [		]−1,
	2

	ak
ale wówczas iloczyn mn miałby wykładnik danej liczby pierwszej nie większy niż 2[		]−2
	2

< a_k sprzeczność, gdyż d | m*n a wykładnik danej liczby pierwszej p_k w rozkładzie d wynosi

	ak
ak. Zauważmy teraz, że nie możemy przyjąć większego wykładnika niż [		]. Załóżmy nie
	2

	ak
wprost, że działa wykładnik przy pk równy [		]+1, ale wówczas:
	2

	k
dla 2 | ak przyjmujemy m = pk[ak/2] , n =
	m

	k
dla 2 nie dzielącego ak przyjmujemy m = pk[ak/2]−1 , n =
	m

	ak		ak
Wówczas w obu przypadkach wykładniki przy m,n wynoszą maksymalnie [		] < [		]+1
	2		2

sprzeczność. Czyli np w a) odpowiedzią jest d = 3²

zadanie: dziekuje bardzo