liczby zadanie: Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z spełniajacych nierównosci |x+y|<2012 oraz |y+z|<2013 , zachodzi nierównosc a) |x+z|<4025 ; NIE b) |x−z|<1 ; NIE c) |x−z|<4025 ; TAK d) |x−z|>1 ? NIE −2012<x+y<2012 −2013<z+y<2013 odejmujac stronami: 1<x−z<−1 sprzecznosc czyli d) Ix−zI>1 nie bo tutaj jest alternatywa a tam koniunkcja −2012<x+y<2012 −2013<z+y<2013 dodajemy stronami: −4025<x+z+2y<4025 czyli a) Ix+zI<4025 nie bo mozna dobrac takie y, ze to bedzie prawdziwe a x+z juz nie b i c nie wiem ? dodawanie jest przemienne ale odejmowanie juz nie wiec jakbysmy odjeli stronami tak: −2013<z+y<2013 −2012<x+y<2012 odejmujac stronami: −1<z−x<1 czyli Iz−xI<1 ale przeciez Ix−zI=Iz−xI czyli w b) powinno byc tak prosze o pomoc

utem: c)|a|+|b|≥|a+b| |x+y|+|y+z|<4025 4025> |x+y|+|y+z|=|x+y|+|−y−z|≥|x+y−y−z|=|x−z|⇔ |x−z|<4025

pigor: ..., lub np. c) |x+y|<2012 i |y+z|<2013 ⇔ −2012< x+y< 2012 i −2013< y+z< 2013 /*(−1) ⇔ ⇔ −2012< x+y< 2012 i −2013< −y−z< 2013 /+ stronami − 4025< x−z< 4025 ⇔ ⇔ |x−z|< 4025 ; TAK −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− b) TAK , bo |x−z|<1< 4025 .

zadanie: ale w b) jest odp. nie

zadanie: no bo to nie znaczy, ze jezeli x−z jest miedzy −4025 a 4025 to jest i miedzy −1 a 1 ale jak to wykazac?

utem: b) |x+y|<2012 oraz |y+z|<2013 −2013<y+z<2013 −2012<x+y<2012 odejmuję stronami −1<y+z−x−y<1 −1<z−x<1⇔|z−x|<1⇔|x−z|<1

utem: No to coś pokręciłam w (b)? Skąd wiesz jaka odpowiedź?

zadanie: bo mam odpowiedzi ale mi tez wyszlo, ze w b) powinno byc TAK bo moje przemyslenia chyba byly dobre?

Panko: Korzystaj z nierówności ∀ a, b∊ R I a −b I ≤I a+ bI stąd jeżeli I x+y I< 2012 i I y+ZI < 2013 to I x−zI=I x+y −(y+z) I < I x+y I + Iy+ZI < 4025 punkt c) TAK ............................................................... punkt d) NIE bo np x=y=z=0 I0+0 I < 2012 i I 0+0I < 2013 no i nie jest I0−0I > 1 .....................................................

Panko: Punkt b) zauważmy ,że x+y=a+2 i y+z =a ⇒ x−z=2 stąd np x+y=0+2 i y+z=0 ⇒x−z=2 np trójka x=1 y=1, z=−1 jest tu dobra I x+yI <2012 i I y+zI <2013 ale I x−zI=2 >1 Stąd punkt B) NIE

utem: w (b) kontrprzyklad |2+4|<2012 |4+6|<2013 |2−6|=4>1 Obalone . Coś jest źle we wpisie 21:50 ?

Panko: Punkt A) NIE weżmy x=z=4000 y=−2011 wtedy Ix+yI=I 4000−2011I <2012 i Iy+zI=I −2011+4000I < 2013 ale Ix+zI = 8000 > 4025

zadanie: dziekuje czyli w b) NIE ale mi wyszlo, ze tak to nie wiem gdzie jest blad bo przeciez jest wzor IxI=I−xI

zadanie: ?

Panko: Pomyśl nad < automatem> który w tym zadaniu gdy dane są Dobierz takie c : Jeżeli x,y, z∊R :I x+yI<a i I y+zI <b ⇒ I x+zI <c jest zd. prawdziwym itp.