liczby rzeczywiste / udowodnij... Kasia: Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają równanie: a+ b + c= 1. Dowieść, że: ab + bc + ac jest mniejsze bądź równe 1/3.

Andrzej: Zacznę od oczywistej oczywistości: (a−b)²+(b−c)²(a−c)² ≥ 0. Wykonuję potęgowania i iloczyny przenoszę na drugą stronę, dzielę obie strony przez 2. a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc oznaczam tę nierówność (*) A teraz do zadania. a + b + c = 1 podnoszę do kwadratu obie strony (a + b + c)² = 1 (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac czyli a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 1 na podstawie nierówności (*) ab + ac + bc + 2ab + 2bc + 2ac ≤ 1 3ab + 3ac + 3bc ≤ 1

	1
ab + ac + bc ≤		cbdo
	3

Andrzej: chochlik mi zjadł jednego plusa między nawiasami w pierwszej linijce... powinno być (a−b)² + (b−c)² + (a−c)² ≥ 0

Eta: Można też tak; ( jak ktoś zna drugą "oczywistą oczywistość") średnia kwadratowa ≥średnia arytmetyczna

	a2 +b2 +c2		a+b+c
√		≥
	3		3

i a+b+c = 1 podnosząc obustronnie do kwadratu , otrzymamy:

a2+b2+c2		1
	≥
3		9

to: a²+b²+c² ≥¹₃ (a+b+c)² −2( ab +ac +bc) ≥ ¹₃ −2(ab +ac +bc) ≥ ¹₃ −1 /:(−2) ab +ac +bc ≤ ¹₂− ¹₆ ab +bc + ac ≤ ²₆ ab +ac +bc ≤ ¹₃ c.b.d.o. PS: tak z nudów to napisałam