Twierdzenie o trzech ciagach Marta: Oblicz na mocy twierdzenia o trzech ciągach ^n+sinn_n+cosn nie wiem co tu bedzie najwieksza wartoscia i jak to rozlozyc

PW: sinn i cosn są ograniczone przez 1, dokładniej −1 ≤ sinn ≤ 1 −1 ≤ cosn ≤ 1. Trzeba by pomyśleć jak zmienia się ułamek (rośnie, maleje?), gdy wartość jednej z tych funkcji zastąpimy przez 1, a drugiej przez −1.

Panko: niech n>1 0 ≤ n−1≤ n+sin n ≤ 1+n 0 < n−1≤ n+ cos n ≤ n+1 ⇒ 1/(n+1) ≤1/(n+cos n) ≤1/(n−1) dla n>1 stąd dla n>1 ( n−1)/(n+1) ≤ (n+sin n)/ (n+ cos n) ≤ (n+1)/(n−1) i skrajne ciągi zbiegają do 1 zatem i środek też