dowód nww nwd technek: Dowód. Czy ktoś mógłby mi sprawdzić, czy w tym dowodzie nie ma jakiegoś błędu logicznego i czy jest poprawny i dobrze uzasadniony? Udowodnij, że NWD(a, b) * NWW(a, b) = ab Załóżmy, że: NWD(a, b) = d, wówczas d | a i d | b i stąd istnieją liczby całkowite a1 i b1 takie, że: a = a1 * d b = b1 * d, przy czym NWD(a1, b1) = 1 (a1, b1 są względnie pierwsze, gdyby nie były to d to nie byłby nwd(a,b)) Liczba a1 * d * b1 jest wspólną wielokrotnością liczb a i b, bo: W = a1 * d * b1 = a * b1 = b * a1 i stąd a | W i b | W. Korzystając z twierdzenia, że N = NWW(a, b) | W otrzymujemy: N = W * t, gdzie t jest całkowite. Istotnie mamy więc: W = N * t i W = a1 * d * b1, stąd: N * t = a1 * d * b1 Ponieważ a | N i b | N mamy: N = a * x i N = b * y, x i y są całkowite, czyli: a * x * t = a1 * d * b1 i b * y * t = a1 * d * b1 a = a1 * d b = b1 * d axt = a * b1 byt = b * a1 xt = b1 yt = a1 Stąd t | b1 i t | a1, ale wobec NWD (a1, b1) = 1 otrzymujemy, że t = 1, czyli: W = N * t => W = N Stąd już tylko: N = W = a1 * d * b1 i NWD(a, b) = d, mamy: NWD(a, b) * NWW(a, b) = (a1 * d * b1) * d = a * b, c.k.d.

Panko: Czy nie lepiej jest skorzystać z Podstawowego twierdzenia arytmetyki liczb naturalnych czyli o rozkładzie na czynniki pierwsze. Wtedy NWW (a, b) , NWD(a,b) są łatwiejsze do przeprowadzenia. Twój dowód korzysta z zasadniczego tw. o podzielności liczb naturalnych c I a*b i ( c, a)=1 ⇒ ci b

technek: Czyli dowód jest poprawny do samego końca tak? A jak brzmi ten drugi?

Panko: Poszukaj podstawowego twierdzenia arytmetyki o rozkładzie..... . Gdy pomożysz przez siebie tak zapisane liczby a , b to łatwo dostrzeżesz , że p₁^α₁ * p₁^α₂ można zapisać : p₁^{max(α₁,α₂)} * p₁^{min(α₁,α₂)} i ten z wykładnikiem max(α₁,α₂) wchodzi do NWW(a,b), a drugi z wykładnikiem min(α₁,α₂) do NWD(a,b)

technek: nie bardzo rozumiem dlaczego w jednym przypadku miałoby być max a w drugim min?

Panko: To popatrz na przykład a = 2⁴ * 3³* 11⁵ = 2⁴* 3³ * 7⁰ * 11⁵ b= 2²* 3⁶ * 7⁴ = 2² *3⁶ * 7⁴ * 11⁰ NWW(a,b) = 2⁴ * 3⁶ * 7⁴ *11⁵ NWD(a,b) = 2² * 3³ *7⁰ *11⁰ NWW i NWD kolokwialnie mówiąc biorą swoje z liczb a,b : tak,że każda bierze dokładnie jeden składnik z pary p^α , p^β ( jeden jest większy , drugi mniejszy to zależy od relacji pomiędzy α ,β )