prz Edek: Korzystając ze wzoru Moivre'a wyrazić za pomocą sinx oraz cosx funkcje: a) sin(3x) b) cos(3x)

Bogdan: z = cosx + i sinx, |z| = 1, i² = −1, i³ = −i. Na podstawie wzoru de Moivre'a: zⁿ = |z|ⁿ( cos(nx) + i sin(nx) ) Stąd: ♣ (cosx + i sinx)³ = cos(3x) + i sin(3x) Na podstawie wzoru skróconego mnożenia (a + b)³ mamy: ♠ (cosx + i sinx)³ = cos³x + 3cos²x * i sinx + 3cosx * i² sin²x + i³ sin³x = = cos³x + 3i cos²x sinx − 3cosx sin²x − i sin³x = (cos³x − 3cosx sin²x) + i(3cos²x sinx − sin³x) Porównujemy części rzeczywiste oraz urojone prawych stron wyrażeń ♣ i ♠: cos(3x) = cos³x − 3cosx sin²x = cosx(cos²x − 3(1 − cos²x)) = cosx(4cos²x − 3) oraz sin(3x) = 3cos²x sinx − sin³x = sinx( 3(1 − sin²x) − sin²x) = sinx(3 − 4sin²x)

Edek: dziękuję

d: sin4x