Wykazać zbieżność ciągu Mari: Ciąg {a_n}^∞_n=1 ma te własność, że jego podciągi {a₂n}^∞_n=1, {a_2n+1}^∞_n=1, {a₃n}^∞_n=1 są zbieżne. Wykazać zbieżność ciągu {a_n}^∞_n=1

Maslanek: Podciąg zarówno parzystych i nieparzystych wyrazów tego ciągu są zbieżne. Zatem wszystkie wyrazy począwszy od któregoś są zbieżne. Zatem i ciąg jest zbieżny.

Maslanek: Albo raczej: Zatem wszystkie wyrazy począwszy od któregoś spełniają nierówność |a_n−g|<E dla dowolnego ustalonego E.

Krzysiek: Maslanek, dla ciągu a_n=(−1)ⁿ a_2k,a_2k+1 są zbieżne, ale a_n już zbieżny nie jest ... dlatego jest ten trzeci warunek.

Panko: Widać w czym problem. Podciągi z poprzedniego przykładu są i zbieżne , a l e do róż n y c h granic Stosujemy TW : jeżeli ciąg jest zbieżny , to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej g r a n i c y Dowód: Niech ciąg ( a_2n ) →q₁ , ( a_2n+1) →q₂ , (a_3n ) →q₃. Weźmy ciąg b_k = (6,12,18,...) to podciąg ciągu ( a_2n ) czyli b_k→q₁ Weźmy ciąg c_k=(3,9,15,...) to podciąg ciągu ( a_2n+1 ) czyli c_k →q₂ Co więcej b_k i c_k to podciągi ciągu (a_3n ) czyli b_k →q₃. i c_k →q₃ Stąd q₁=q₂=q₃ ( do jednej granicy) Dalej to już prosta droga.

Panko: Oczywiście powinno być a_(bk) →q₁ ; a_(ck) →q₂ ; i dalej też a_(bk) →q₃ a_(ck) →q₃ ;