logarytm zombi: log_|x|(x⁴ + 1) < 3 Pytanko rozbić na przypadki I^o x ∊ (−1; 1) \ {0} II^o x ∊ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) I normalnie opuszczać logi?

ICSP: Chyba tak Przynajmniej ja bym tak robił

zombi: No czyli dobrze myślałem, dzięki

Rafał28: Ale zombi podstawa logarytmu zawsze >0 i różna 1.

Rafał28: Ajj pomyłka. Pozdrawiam.

Saizou : no albo

	1
loglxl(x4+1)=
	log(x4+1)lxl

nie wiem czy to pomoże

zombi: Później tylko dla przedziałów x⁴ +1 < |x|³ i x⁴ +1 > |x|³ A to luzik myślałem, że gorzej będzie. A takie cudeńko ? Wykaż, że jedynym rozwiązaniem równania x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − 2x² +2x −1 = 0 jest liczba jeden. Oczywiście rzeczywiste. Niech W(x) = x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − 2x² +2x −1 W'(x) = 5x⁴ − 8x³ + 6x² − 4x + 2 = x⁴ + (4x⁴ − 8x³ + 4x²) + (2x² − 4x + 2) = x⁴ + 4x²(x−1)² + 2(x−1)² = x⁴ + (4x² + 2)(x−1)² > 0 dla x∊R, czyli raz przecina oś x, więc jedynym pierwiastkiem jest 1. Można tak?

MQ:

	log(x4 + 1)		2log(x4 + 1)		2log(x4 + 1)
log|x|(x4 + 1)=		=		=
	log|x|		2log|x|		log x2

pigor: ...a co do przykładu Wykaż, że jedynym rozwiązaniem równania x⁵−2x⁴+2x³−2x²+2x−1=0 to bez pochodnej − elementarnie − widzę to tak : x⁵−2x⁴+2x³−2x²+2x−1=0 ⇔ x⁵−x⁴−x⁴+x³+x³−x²−x²+x+x−1=0 ⇔ ⇔ x⁴(x−1)−x³(x−1)+x²(x−1)−x(x−1)+1(x−1)=0 ⇔ ⇔ (x−1)(x⁴−x³+x²−x+1) = x⁵−1 , a x⁵−1=0 ⇔ x⁵=1 ⇔ x=1 c.n.w.

pigor: ... oczywiście − dla mnie − twoje rozwiązanie jest o.k. wykazałeś ∀x∊R W '(x) >0 ⇒ f. rosnąca w R i W(1)=0, a więc c.n.w. ....

Godzio: Co do pierwszego chyba łatwiej robić to tak jak zamienił Saizou x ∊ R \ {−1,0,1} Niech log_{(x⁴ + 1)}|x| = t

1
	< 3 ⇔ (1 − 3t)t < 0
t

	1
t ∊ (−∞,0) U (		,∞)
	3

log_{(x⁴ + 1)}|x| < 0 ⇔ |x| < 1 ⇔ x ∊ (−1,0) U (0,1)

	1
log(x4 + 1)|x| >		⇔ |x| > (x4 + 1)1/3 = x(x + 1/x3)1/3
	3

Ponieważ x(x + 1/x³)^1/3 > 0 (dla każdego x ∊R \ {0}) i |(x + 1/x³)^1/3| > 1, to ostatnia nierówność nigdy nie zachodzi Ostateczna odpowiedź: x ∊ (−1,0) U (0,1) Wydaje mi się, że ten sposób może być nieco szybszy od rozbijania na przypadki

pigor: ..., czyli po prostu np. tak : log _|x| (x⁴+1) < 3 ⇔ (0<|x|<1 i |x|⁴+1 >|x|³) v (|x|>1 i |x|⁴+1< |x|³) ⇔ ⇔ (0< |x|<1 i x∊R) v (|x| >1 i x∊∅) ⇔ 0< |x|<1 v x∊∅ ⇔ 0< |x|<1 ⇔ ⇔ x≠0 i −1< x< 1 ⇔ −1< x< 0 v 0< x< 1 ⇔ x∊(−∞;−1)U(1;+∞) . ...

ICSP: pigor (x−1)(x⁴−x³+x²−x+1) = x⁵ − 1 ? Czyli x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − 2x² + 2x − 1 = x⁵ − 1 ?

pigor: ..., no ja wiem tylko, że ja na to wcześniej .. nie wpadłem dlatego robiłem jak ... zrobiłem...