Nierówność tarnopol: Witam, mam pytanie , jak rozwiązać tego typu nierówność (⁷₈)ⁿ <0,2

Rafał28: (⁷₈)ⁿ < (⁷₈)^{log_7/8 0.2}

tarnopol: no a dalej> bo do teo innaczej ale też dosedłem .. i niech mi ktoś po wie jak za pomocą prostego kalkulatora dalej to zrobić...

PW:

	2
n > log7/8
	10

Jeżeli n jest liczbą naturalną, to kalkulator nie jest potrzebny.

tarnopol: no jest

PW: A liczbę

	2
log7/8
	10

potrafimy oszacować, gdyż logarytm o podstawie 7/8 jest malejący, a

	7		2		2
(		)13 <		, czyli log7/8		< 13
	8		10		10

(liczba 13 jest już za duża, i każda większa też). Jednak przesadziłem, że kalkulator nie jest potrzebny, zbyt długo by to trwało. Odpowiedź: n ≥ 13.

tarnopol: no dla mnie to wróciliśmy do punktu wyjscia.... przynajmniej jesli chodzi o to jak rozumowałem. PW jeśłi to takie proste to zdradź sekret bom ciemna pustka panuje w mojej głowie

PW: Tak patrzę teraz na zadanie od początku − logarytmy były zbędne (tylko kołujemy utrudniając sobie). Od razu trzeba powołać się na fakt, że

	7
(		)n
	8

jest malejąca i znaleźć pierwszą liczbę spełniającą nierówność, czyli n=13.

tarnopol: no ok ... ale czy oprócz szacowania jest jakaś metoda to jakoś policzyć>? bo do tego samego doszedłem jadąc autobusem i stanąłem właśnie na tym czy to trzeba szacować cyz jest jakiś sprytniejszy sposób.

Bogdan: Można w ten sposób:

	7		1		7		1		7		1
(		)n <		⇒ log(		)n < log		⇒ n*log		< log
	8		5		8		5		8		5

	1   log   5		log1 − log5
n >		⇒ n >
	7   log   8		log7 − log8

	log5
ostatecznie n >
	log8 − log7

Eta:

Rafał28:

	x2		x3
ln(1+x) = x −		+		−...
	2		3

Liczę dla trzech wyrazów

	(45)2		(4/5)3
ln(1−45) = −45 −		−		≈ −484375
	2		3

	(18)2		(1/8)3
ln(1−18) = −18 −		−		≈ −2051536
	2		3

	ln(1−45)
n > log7/8 210 =		≈ 484375 * 1536205 ≈ 9,67
	ln(1−18)

i tak za mało