Uzasadnianie równości z definicji Heinego. Ele: Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie uzasadnij poniższą równość: lim( x→^π₃ )cosx= ¹₂. Mój problem nie polega na zastosowaniu definicji, bo wydaje mi się, że to opanowałam i dlatego doszłam do czegoś takiego: lim(n→∞) x_n= ^π₃. I nie wiem jak przekształcić lim(n→∞)cosx_n, żeby móc wykorzystać to poprzednie równanie . Jeśli ktoś mógłby pomóc serdecznie o to proszę z góry przepraszam za niejasności w zapisie.

Panko: Definicja Heinego nie jest za bardzo użyteczna w takim dowodzeniu.( to eufemizm) ............................................................................ .......................................... Jeżeli już to korzystając z tw o trzech ciągach i następujących oszacowań jeżeli x_n→0 to sinx_n →0 bo 0 ≤ I sinx_n I<Ix_nI jeżeli x_n →0 to cos x_n →1 bo 0≤ Icos x_n −1I ≤ 2*( x_n/2)² a to →0 co oznacza ,że lim sinx =0 i lim cosx =1 x→0 x→0 Stosując powyższe dla ciągu x_n −π/3 →0 jest lim cos(x_n−π/3) =1 i lim sin(x_n−π/3) =0 x_n −π/3 →0 x_n −π/3 →0 stosując powyższe jest lim [ cos(x_n−π/3) * cosπ/3 −sin(x_n−π/3) * sinπ/3 ] =1*(1/2) −0*√3/2 =1/2 x_n −π/3 →0 oraz lim [ cos(x_n−π/3) * cosπ/3 −sin(x_n−π/3) * sinπ/3 ] = lim cos ( x_n−π/3 +π/3)= lim cosx_n x_n −π/3 →0 x_n −π/3 →0 z porównania powyższych granic jest lim cosx =1/2 x→π/3. ............................................................ stosowaliśmy cos(α +β) = cosαcosβ −sinαsinβ

Ele: Dziękuję serdecznie za pomoc