liczby zadanie: Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z spełniajacych nierównosci Ix−yI<2 oraz Iy−zI<3 zachodzi nierownosc a) Ix−z| > 1 ; nie b) |x−z| < 5 ; tak c) |x−z| < 4 ; nie d) |x−z| < 6 ? tak 1 warunek: −2<x−y<2 2 warunek: −3<y−z<3 dodajac je mam: −5<x−z<5 czyli Ix−zI<5 czyli w podpunkcie b) odp. tak czyli dobrze. wydawalo mi sie, ze jezeli dla b) jest odp. tak to dla c) tez bedzie tak ale jest odp. nie dlaczego? w pozostalych rowniez nie wiem dlaczego sa takie odpowiedzi. moglbym prosic o wytlumaczenie?

Panko: oczywiste ,że I a+ bI ≤IaI + I bI ( pisane już bez kwantyfikatorów) stąd I(x−y) +(y−z) I≤ Ix−yI + I y−zI < 2+3 stąd I x−z I < 5 b) TAK stąd też i d) TAK Oczywiście a) i c) NIE kontrprzykłady a) x=y=z =0 wtedy Ix−zI =0 c) y=0 x=−1 1/2 z =2 1/2 wtedy I x−zI =4

zadanie: dobrze dziekuje ale nadal nie rozumiem podpunktu d) ?

zadanie: czy chodzi o to, ze jezeli ta roznica jest mniejsza co do modulu od 5 to tym bardziej od 6 tak? a to, ze jest mniejsza od 5 nie oznacza, ze jest mniejsza od 4 bo mozemy dobrac takie liczby, ze tak nie bedzie przyklad: jak powyzej czy tak?

Panko: A jeżeli powiem tak : jeżeli liczba jest mniejsza od 5 to ta liczba jest mniejsza od 6 Jeśli coś jest mniejsze niż 5 to napewno (ort ?) jest mniejsze od 6 inaczej : zbiór liczb mniejszych od pięc zawiera się w zbiorze liczb mniejszych od 6 lub mniej zrozumiale ∀ x∊R x< 5 ⇒ x<6

zadanie: dziekuje

Panko: Kluczem do analizy zadania jest nierówność b) ponieważ w oparciu o nią wyciąga się dalsze wnioski

zadanie: Podać zbiór rozwiązań równania w postaci przedziału lub sumy przedziałów. a) [Ilog₃log₂xI]=1 bylo podobne juz ale w tym przykladzie jest jeszcze log₂x

zadanie: jakas podpowiedz?

Panko: [ I log₃log₂x I ]=1⇔ 1 ≤ I log₃log₂x I < 2 −2< log₃log₂x ≤ −1 lub 1 ≤ log₃log₂x < 2 log₃(1/9) <log₃log₂x ≤ log₃(1/3) lub log₃3 ≤log₃log₂x < log₃9 1/9 < log₂x ≤ 1/3 lub 3≤ log₂x < 9 2^1/9 < x ≤ 2^1/3 lub 8≤ x< 512

zadanie: dziekuje a moglbym prosic o zapisanie poszczegolnych wykonanych krokow z wyjasnieniem ?

zadanie: ?

Panko: jutro tzn dzisiaj po południu.

zadanie: dobrze

Panko: do zadanie: Które przejścia wymagają komentarza ?

zadanie: dobrze by bylo wszystkie jakie byly zastosowane

Panko: 1◯ x∊R , k∊ C k ≤ x < k+1 ⇔ [x] =k 2◯ ( a >0 i a ≤ I y I ) ⇔ y≥a ⋁ y≤−a 3◯ ( a>0 i a > I y I ) ⇔ −a< y < a 4◯ a∊(0 , 1) ∪( 1 , ∞) , c ∊ R c= log _a a^c

zadanie: dziekuje