ciągłość funkcji Franek: proszę o pomoc w tych 3 zadaniach a. sprawdź bezpośrednio z definicji Cauchyego, że funkcja g(x)=√x+1 jest ciągła w punkcie x=0

	1
b. znajdź zbiór punktów ciągłości funkcji określonej wzorami f(x)=x*sin		dla x≠0 oraz
	x

f(0)=0 c. funkcja f: R→R spełnia nierówność 2|f(x)−x|≤|f(x)| dla każdego x ∊ R, uzasadnij że f jest ciągła w punkcie x=0

Franek: up

Franek: up

Panko: 1) x=0 : 2*I f(0) − 0 I ≤If(0)I ⇒ I f(0) I ≤0 ⇒ f(0)=0 2 ) f ciagła w x=0 ⇔∀ε>0 ∃ δ>0 : IxI <δ ⇒ I f(x) I <ε 3) Opuszczając wartość bezwzględna w nierówności 2|f(x)−x|≤|f(x)| i badając znaki uzyskujemy, ze I f(x) I ≤ 2IxI ( dopracować) 4) wtedy dla dowolnego ε >0 biorę δ= δ(ε)=ε/2 to jeżeli IxI < ε/2 to I f(x) <=2IxI <ε

Panko: a) f ciagła w x=0 ⇔∀ε>0 ∃ δ>0 : IxI <δ ⇒ I √x+1 −1 I <ε bo f(0)=1 I √x+1 −1 I = I (x+1 −1) / (√x+1 +1 ) I = I x I / ( √x+1 +1 ) < Ix I poniewaz √x+1 +1 >1 weźmy δ=δ(ε) =ε to jeżeli I x I < ε to I √x+1 −1 I <I x I <ε