indukcja
ciekawsky: Muszę dowieść indukcyjnie, że Tn(x) jest wielomianem n stopnia.
x∊[−1,1]
Tn(x)=cos(n*arccos(x))
Zacząłem tak:
Tn(x)=anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0, n∊Z
LHS=T1(x)=cos(arccos(x))=x
RHS=a1x1+a0
Teraz, jak najprościej pokazać, że a1 i a0 nie mają znaczenia i że LHS=RHS?
Pewnie to jakiś łatwy sposób, ale pierwszy raz rowiązuję takie zadanie i nie wiem.
14 gru 20:26
Panko: Może oblicz
T2(x) =cos(2*arccos(x))=2*cos2(arccos(x)) −1 =2x2−1
T3(x) =cos ( 2*arccos(x) +arccos(x) )=cos (2*arccos(x))* cos(arccos(x) ) −sin(2arccos(x) )*
sin(arccos(x) ) = (2x2−1)*x − √1−( 2x2−1)2√1− x2= 2x3−x −2x*(1−x2)=4x3−3x
czy to Ci czegoś nie przypomina /
14 gru 21:13
ciekawsky: Panie kochany, ja wiem, że to jest tak rzeczywiście, ale w zadaniu jestem zobowiązany dowieść
to INDUKCYJNIE...
15 gru 14:58
ciekawsky: nie pomoze nikt?
16 gru 16:58
wredulus_pospolitus:
no to w czym problem:
1) n=1 ... pomijam bo sprawdzone
2) n = k
3) n=k+1
Tk+1(x) = cos((k+1)*arccos(x)) = cos(k*arccos(x) + arccos(x)) =
// z trygonometrii// = cos(k*arccos(x))*cos(arccos(x)) − sin(k*arccos(x))*sin(arccos(x)) =
......
16 gru 17:31
ciekawsky: Dzięki wielkie
16 gru 23:29