Indukcja matematyczna (2⋀n+2 + 3⋀2n+1) jest podzielne przez 7 Tomek: Pomożecie w zadaniu? Stosując indukcje matematyczną obliczyć? (2⋀n+2 + 3⋀2n+1) jest podzielne przez 7

Tomek: please

Bogdan: Najpierw zapiszemy porządnie treść zadania (pewnie dlatego nikomu nie chciało się za to zabrać). Stosując indukcje matematyczną wykaż (a nie oblicz), że 2ⁿ⁺² + 3²ⁿ⁺¹ jest podzielne przez 7. Krok pierwszy − sprawdzenie. Dla n= 1: 2¹⁺² + 3^2*1+1 = 2³ + 3³ = 35 = 7*5 Krok drugi − założenie. Możemy krok pierwszy wykonywać dla kolejnych liczb naturalnych: dla 2, 3, 4, aż do k Przyjmujemy więc założenie, że liczba 2ⁿ⁺² + 3²ⁿ⁺¹ jest podzielna dla dla n = k 2^k+2 + 3^2k+1 = 7*a, a∊N 4*2^k + 3*9^k = 7a ⇒ 4*2^k = 7a − 3*9^k Krok trzeci − teza. Skoro zależność jest prawdziwa dla n = 1, 2, 3, ... , k, to zachodzi także dla n = k+1 2^k+1+2 + 3^2(k+1)+1 = 2^k+3 + 3^2k+3 Krok czwarty − dowód. 2^k+3 + 3^2k+3 = 8*2^k + 27*9^k = 2*4*2^k + 27*9^k = 2(7a − 3*9^k) + 27*9^k = = 14a − 6*9^k + 27*9^k = 14a + 21*9^k = 7(2a + 3*9^k) co należało wykazać

Tomek: Dzikie wielkie. Sory za pomylke, faktycznie chodzilo o udowodnieni a nie obliczenie. Nie wiem tylko skąd sie to wzieło 4*2k + 3*9k = 7a ⇒ 4*2k = 7a − 3*9k.