udowodnij z indukcji paullak: udowodnić, że jeśli x+1/x jest liczbą całkowitą, to xⁿ+1/xⁿ też jest liczbą całkowitą dla każdej liczby naturalnej n. Wskazówka przedstawić xⁿ⁺¹+1/xⁿ⁺¹ przy pomocy xⁿ+1/xⁿ, x+1/x i xⁿ⁻¹+1/xⁿ⁻¹ oraz skorzystać z zasady indukcji. wiem że muszę skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia, ale niestety nadal jakoś nie umiem ruszyć z miejsca. I tu mam prośbę rozpisze mi to ktoś?

Panko: 1) weź ( xⁿ+ 1/xⁿ) * (x^m +1/x^m) = ( x^m+n+ + 1/x^m+n ) + (x^n−m + 1/x^n−m) oznaczając S_n= xⁿ+ 1/xⁿ ⇒ S_n*S_m =S_n+m + S_n−m ⇒S_n+m= S_n*S_m −S_n−m i przyjmując m=2 jest S_n+2=S_n* S₂ −S_n−2

Panko: 2) równie dobrze możesz skorzystać z dwumianu Newtona x+1/x∊ C ⇒ (x+1/x)ⁿ ∊C

	n k		n k
(x+1/x)n= ∑		xn−2k dla k∊{0,...n} = (xn +1/xn) + ( ∑		xn−2k dla

k∊{1,..n−1} )

	n i		n n−i
Teraz tylko zauważysz, że z równości		=		daje się łączyć w pary

	n i
postaci		*( xn−2i + 1/xn−2i )

Jeżeli n jest parzyste to zostaje środkowy składnik , który jest od razu liczbą