podzielnosc zadanie: dla dowolnej liczby naturalnej k liczba k³ jest podzielna przez m wtedy i tylko wtedy gdy liczba k³ jest podzielna przez n. Czy powyzsze zdanie jest prawdziwe dla a) m=2³, n=2⁴ b) m=2⁵, n=2⁶ c) m=2⁷, n=2⁹ d) m=2⁸, n=2¹⁰ ?

Panko: a) ∀ k∊N m I k³ ⇔n I k³ ∀k ∊N (∃ c∊N : k³= c*m ⇔ ∃ d∊N k³=d*n ) m=2³ i n=2⁴ i k= 2 (∃ c∊N : 2³= c*2³ ⇔ ∃ d∊N 2³=d*2⁴ ) (∃ c=1 : 2³=2³ *1 ⇔ ∃ d∊N 2³=d*2⁴) ( 1⇔0 ) fałsz zdanie a) fałszywe

zadanie: dziekuje

zadanie: Dla dowolnych liczb naturalnych a,b,c,d, jeżeli iloczyn abcd jest podzielny przez n³ to co najmniej jedna z liczb a,b,c,d jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla a) n=2 b) n=4 prosilbym o wytlumaczenie nie rozumiem tego

Panko: weź przykład na nie n=2*3*5*7 ; a=2²*3 b=3²*5 c=5²*7 d=7²*2 wtedy implikacja n³ I abcd ⇒nIa ⋁ nIb ⋁ nIc ⋁ nId jest fałszywa bo tak dobrane aby n³=abcd oraz ∼(2²*3 I 2*3*5*7 ) i ∼( 3²*5 I 2*3*5*7) itd

Panko: 4³I abcd ⇒ 4I a ⋁ 4I b ⋁ 4I c ⋁ 4I d sprawdźmy czy implikacja może być fałszywa czyli 4³I abcd ⋀ ∼4I a ⋀ ∼4I b ⋀ ∼4I c ⋀ ∼4I d ponieważ 4³I abcd to ∃ e∊N : abcd = e* 4³ czyli abcd jest parzysta i dalej każda z a, b, c d są nieparzyste czyli ich iloczyn jest nieparzysty : sprzeczność . To wartościowanie nie jest możliwe. Ta implikacja jest prawdziwa

zadanie: nie rozumiem mozna to inaczej wytlumaczyc niz implikacja np. rozkladem na czynniki pierwsze?

Panko: No może tak. jeżeli 4³I abcd to 2⁶ I abcd czyli w iloczynie czterech liczb a,b,c d liczba pierwsza 2 musi wystąpić łącznie co najmniej 6 razy . Skrajna sytuacja tego rozłożenia występowania 2 to 4 razy po 2¹ i zostają dwie dwójki czyli 2² no i one w najgorszym razie się rozdzielą i dadzą dwie liczby podzielne przez 4 . Ale to taki gadany dowód

zadanie: a jakby bylo n=16?

Panko: n³=16³=(2³)⁴=(2⁴)³ weź a=b=c=d= 2³ wtedy n³=16³=abca ale 16 I 2³ ⋁ ....... 16I 2³ no nie czyli jest fałszywa

zadanie: dziekuje

Panko: Ogólnie : niech n=2^α , α∊N ( liczbę 2 można zastapić dowolną liczbą pierwszą. wtedy n³= 2^3α i zobaczmy najbardziej niekorzystny przypadek, gdy żadna z podzielności nIa itd nie zachodzi. Oznacza to, że maksymalnie 2 wchodzi do rozkładu każdej z liczb a, b, c, d z wykładnikiem α−1 czyli abcd<=2^4*(α−1) a stąd 2^3α <= 2^4*(α−1) czyli 3α<= 4α−4 czyli 4<=α wniosek dla liczb >= 2⁴ implikacja sie psuje

zadanie: >= to znaczy ≥ ?

zadanie: a mozna do tego pierwszego zadania tez to ogolnie rozpisac?

Panko: Przedawkowałem rachowanie . Czas odpocząć

zadanie: ?

zadanie: moglbym jeszcze poprosic kogos o rozpisanie tego 1 zadania jak to ogolnie wyglada?

Vax: m | k³ ⇔ n | k³, jest równoważne temu, że m i n mają w rozkładzie na czynniki te same liczby

	at
pierwsze, których odpowiednie wykładniki (nazwijmy je at , bt) spełniają [		] =
	3

	bt
[		], gdzie [x] − sufit z x.
	3

A co do tego, że n³ | abcd równoważne temu, że co najmniej jedna z a,b,c,d dzieli się przez n, to jest to równoważne temu, że n jest postaci 1 , p , p² , p³ gdzie p jest dowolną liczbą pierwszą.

zadanie: dziekuje