Monotoniczność ciągów - proszę o pomoc!!! minnie: a) Wykaż,że ciąg a_n= n!/(n+1) jest rosnący dla n>1 b) Wykaż,że ciąg √n+3 − √n jest malejący

AS: Ciąg a_n jest rosnący jeżeli dla każdego n a_n+1 − a_n > 0

	n!		(n+1)!
an =		an+1 =
	n+1		n+2

	(n+1)!		n!		(n+1)!*(n+1) − n!*(n+2)
an+1−an =		−		=		=
	n+2		n+1		(n+1)*(n+2)

n!*(n+1)*(n+1)−n!*(n+2)		n!*[(n+1)2−(n+2)]
	=		=
(n+1)*(n+2)		(n+1)*(n+2)

n!*(n2+2*n+1−n−2)		n!*(n2+n−1)
	=		> 0
(n+1)*(n+2)		(n+1)*(n+2)

bo n² + n − 1 > 0 dla każdego n > 1

AS: b) Ciąg a_n jest malejący jeżeli dla każdego n a_n+1 − a_n < 0 a_n = √n+3 − √n a_n+1 = √n+4 − √n+1 Przekształcam ułamki rozszerzając przez mianownik z przeciwnym znakiem

	(√n+3−√n)*(√n+3+√n)
an =		=
	√n+3+√n

n+3−n		3
	=
√n+3+√n		√n+3+√n

	(√n+4−√n+1)*(√n+4+√n+1)
an+1 =		=
	√n+4+√n+1

n+4−n−1		3
	=
√n+4+√n+1		√n+4+√n+1

	3		3
an+1 − an =		−		=
	√n+4+√n+1		√n+3+√n

	√n+3+√n−√n+4−√n+1
3*		=
	(√n+4+√n+1)*(√n+3+√n)

	(√n+3+√n+4)+(√n−√n+1)
3*		=
	(√n+4+√n+1)*(√n+3+√n)

Rozpatrując licznik wnioskujemy √n+3− √n+4 < 0 bo √n+3 jest wcześniejsze od √n+4 podobnie √n− √n+1 < 0 bo √n jest wcześniejsze od √n+1 ponieważ suma dwóch liczb ujemna jest ujemna wobec tego cały ułamek jest ujemny bo reszta nawiasów ułamka jest dodatnia. Ciąg podany jest malejący.

minnie: Wielkie dzięki !

AS: Korekta W ostatnim ułamku w liczniku powinno być √n+3−√n+4