funkcje sław: Sprawdź że funkcja f:R→R taka, że f(x)=x gdy x∊Q oraz f(x)=−x gdy x∊R\Q jest różnowartościowa lecz nie jest monotoniczna. Moje rozwiązanie 1. Niech x₁ i x₂ ∊ Q Załóżmy że x₁ ≠i x₂ Wtedy mamy f(x₁)=x₁ oraz f(x₂)=x₂ Korzystając z założenia f(x₁)≠f(x₂). Zatem funckja jest różnowartościowa. Trzeba też to pokazać dla x∊R\Q 2. Wskażę kontrprzykład f(1)=1 f(√2)=−√2 f(2)=2 1<√2 f(1)>f(√2) √2<2 f(√2)<f(2) Zatem funkcja nie jest monotoniczna Dobrze rozwiązane ?

sław: To pomóżcie z tym Wykaż że jeśli funkcja f: R→R jest okresowa to także funkcja g: R→R zadana dla x∊R wzorem g(x)=f(ax+b), gdzie a,b∊R, jest okresowa Co tu pokazać ? Przecież od razu widać że jest okresowa. Jak to PRZYZWOICIE zapisać

sław: jak to zapisać ?

Panko: Niech T>0 będzie okresem funkcji f: R→R wtedy g:R→R ma okres T₁=a*T ? i pokazać to z definicji

sław: Nie do końca wiem jak to zapisać Zatem istnieje T>0 takie, że f(x+T)=f(x) Przyjmijmy T₁=a*T g(x+T₁)=f(ax+b+T₁)=f(ax+b+a*T) i co dalej ?

Panko: niech T₁=T/a ( poprawka) wtedy g(x+T₁)= f(a(x+T₁)+b) = f(ax+b + a*T₁)= f(ax+b + a*T/a)= f(ax+b+T)=f(ax+b) =g(x) czyli T₁=T/a jest okresem g jeżeli T jest okresem f

PW:

	T		T
g(x+		) = f(a(x+		)+b) = f(ax+T+b) = f((ax+b)+T} = f(ax+b) = g(x),
	a		a

	T
a więc okresem jest		.
	a

PW: O, nie widziałem wpisu Panko, ale dobrze, że mamy ten sam pogląd. Teoretyk jeszcze zapyta: czy jest to okres zasadniczy, jeśli T była okresem zasadniczym funkcji f, ale niech adept pomęczy sie sam.

Panko: To zapytam ? Jeżeli f: R→{1,0} jest funkcją Dirichleta to f(√2x) jest okresowa ale tez bez okresu zasadniczego ?