wielomiany Lorak: Dla jakich wartości parametru a wielomian (x−a)(x−2012)+1 jest iloczynem dwóch (niekoniecznie różnych) wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach całkowitych?

Godzio: Proponuję wymnożyć i policzyć deltę, Δ ≥ 0 −−−− możemy zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, później odpowiednio zmienić, żeby współczynniki były całkowite

Lorak: Kurcze, dlaczego na to nie wpadłem... Dzięki

Godzio: Oj wiesz co, przeczytałem to jeszcze raz, to nie jest takie proste To, że Δ ≥ 0 to jeszcze nic nie daje, zaraz pomyślę

Lorak: Na początku próbowałem zrobić to w ten sposób, że: f(x)=bx+c g(x)=dx+e f(x)*g(x)=(x−a)(x−2012)+1 Powymnażałem i chciałem jakoś wspołczynniki przyrównać, ale za dużo tych niewiadomych jest.

Godzio: b = d = 1 lub b = d = −1, bo musimy otrzymać x², a iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy 1 tylko wtedy gdy są równe 1 lub − 1 Ale to i tak chyba za dużo nie daje

Godzio: Dzisiaj już chyba nic nie wymyślę, ale przyznam fajne zadanko

Panko: Może tak : jeżeli w(x) ma się dzielić przez pewien x−c to w(c)=0 stąd (c−a)*(c−2012)=−1 ⇔ (c−a=1 i c−2012=−1) lub ( c−a=−1 i c−2012=1)

Bogdan: Przeprowadźmy taki ciąg działań: (x − 2014)(x − 2012) + 1 = (x − (2013+1))*(x − (2013−1)) + 1 = = x² − (2013−1)x − (2013+1)x + 2013² − 1 + 1 = x² − (2013 − 1 + 2013 + 1)x + 2013² = = x² − 2*x*2013 + 2013² = (x − 2013)² = (x − 2013)(x − 2013) a = 2014

Lorak: Dzięki Panowie Mam jeszcze pytanie co do rozwiązania Bogdana. W zasadzie nie bardzo rozumiem sam pomysł na zadanie. Podstawiając a=2014 wszystko ładnie wychodzi, ale skąd wiadomo, że to jedyna możliwość?

ZKS: Druga możliwość to a = 2010.

Lorak: I chyba to dwie jedyne możliwości.

ZKS: Tak.