dowody uczeńlicealista: 1.Udowodnij ,że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c zachodzi nierówność

	1		1		1
(a3+b3+c3)(		+		+		)≥(a+b+c)2
	a		b		c

2.Udowodnij,że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c takich,że a+b+c=1 zachodzi nierówność: √2a+1+√2b+1+√2c+1≤√15

zombi: 1. Skorzystaj z faktu, że

a4+b4
	≥ a2b2 Z AM−GM
2

dodaj tak nierówności (a z b), (a z c) i (b z c) jak je zsumujesz masz tezę, tylko odpowiednio przekształć pierwszą nierówność.

zombi: 2. Nierówność między średnią harmoniczną i arytmetyczną dla trzech liczb √2a+1, √2b+1, √2c+1

	x2+y2+z2		x+y+z
√		≥
	3		3

gdzie x=√2a+1 y=√2b+1 z=√2c+1

zombi: miedzy srednia kwadratowa i arymetyczna sprostowanie w drugim.

uczeńlicealista: co to znaczy AM i GM? średnia arytmetyczna i geometryczna?

zombi: tak.

uczeńlicealista: nie wychodzi mi rozwiązanie z twojego sposobu..Pomocy:((

zombi: Kułcze przepraszam złą nierówność ci podałem. Taka jest dobra

a3b+b3a
	≥ √a3b *b3a = ab
2

⇔

a3		b3
	+		≥ 2ab
b		a

⇔

	a3		b3
(a2 + b2) +		+		≥ 2ab + (a2 + b2)
	b		a

a3		b3		a3		b3		1		1
	+		+		+		= (a3+b3)(		+		) ≥ (a+b)2
a		b		b		a		a		b

I teraz sumujesz 3 nierówności i masz tezę.

uczeńlicealista: i w każdym z tych przypadków będzie tak samo tylko zmieniam zmienne?

zombi: Tak. a z b, a z c i b z c.

uczeńlicealista: to już koniec dowodu ?

zombi: Jak dodasz te 3 nierówności co ci mówiłem to dostaniesz

a3

b3

c3

a3

a3

b3

b3

2

+ 2

+ 2

+

+

+

+

+

a

b

c

b

c

a

c

	c3		c3
		+		≥ 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2(ab + bc + ac)
	a		b

Teraz obustronnie odejmujemy (a²+b²+c²) i mamy:

	1		1		1
(a3+b3+c3)(		+		+		) ≥ a2+b2+c2 + 2(ab+bc+ac) = (a+b+c)2 ckd.
	a		b		c