podzielnosc zadanie: Dla podanej liczby n wskazac najwieksza liczba calkowita nieujemna k, dla ktorej liczba n jest podzielna przez 8^k. a) n=123456789200060⁵⁰, k=................? 8^k=2^3k liczba 123456789200060 jest podzielna przez 4 ale nie jest podzielna przez 8. jest podzielna przez 4 czyli przez 2². zatem liczba n jest podzielna przez 2¹⁰⁰. (.......(2²)⁵⁰=2¹⁰⁰)

2100
	stad k=33
23k

dobrze? jakies uwagi?

zadanie: ?

zadanie: ?

Panko: Niestety moje palce obciążone są %. A jeżeli n = 123456789200aaa a∊{0,1...9} to k= ?

zadanie: w zaleznosci od a

Panko: No największa trzycyfrowa końcówka, że 8 I aaa to 888 czyli 8 I 123456789200888

Vax: Dla danej liczby całkowitej n największa liczba całkowita nieujemna k, taka, że 8^k | n wynosi

	v2(n)
k = [		] , gdzie [x] − cecha z x, a v2(n) to wykładnik padyczny 2 n, czyli
	3

największa potęga 2 dzieląca n.

zadanie: dziekuje troche zbyt teoretycznie jak dla mnie ale ok dziekuje rowniez, ze pan wrocil do tych poprzednich zadan z podzielnoscia bo ja mam problem z tymi zadaniami nie za bardzo wiem jak je rozwiazywac ma pan na to jakas rade? (wiem, ze to moze glupie pytanie ale na co zwracac uwage w takich zadaniach z podzielnoscia? wiem, ze to pewnie zalezy od zadania ale jakies ogolne spostrzezenia?)

5-latek: On jest o wiele mlodszy od Ciebie . Tylko ze ma takie wiadomosci

ICSP: Wykładnik padyczny ?

zadanie: mlodszy ale madrzejszy

Vax: ICSP, tak jak już pisałem v_p(n) − jest to wykładnik p−adyczny n (ostatnio myślnik mi się zgubił ) czyli taka liczba α, że p^α | n ale już p^α+1 nie dzieli n. Czyli np v₂(8) = 3 (wykładnik 2−adyczny 8 wynosi 3), albo v₃(36) = 2 itd.. Jest to bardzo ciekawa rzecz, często przydaje się w wielu zadaniach. O pewnych własnościach, tzw Lifting the Exponent lemma możesz poczytać tutaj: http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/LTE.pdf zadanie co do rady do takich zadań, to dobrze jest patrzeć na większość zależności od razu odnosząc to do ich rozkładu na czynniki pierwsze. Najczęściej dopiero w takiej postaci możemy coś więcej powiedzieć co musi dana liczba spełniać, żeby zachodziły pewne zależności. Np zależności x | y nie musimy interpretować jako istnienia takiej całkowitej liczby k, że y = k*x tylko tak, że wszystkie liczby pierwsze wchodzące w rozkład na czynniki pierwsze x występują w wykładniku nie większym niż w y. Dzięki takiemu spojrzeniu na problem, często od razu widać od czego zacząć, czego się czepić

zadanie: dziekuje a moze pan polecic jakies ksiazki, artykuly, itp. z ktorych pan sie tego nauczyl i ktore wedlug pana sa dobre ?

Vax: Do teorii liczb z całą pewnością mogę polecić: http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=19&wyd=10&jez=pl Masz tam wyjaśnione większość rzeczy które o teorii liczb warto wiedzieć, zaczynając od rozkładu na czynniki pierwsze. Dodatkowo prawie wszystkie własności są tam dowodzone

ICSP: Dostałem to samo i miałem kiedyś pytać o jedno zadanie, ale niestety wyleciało mi to z głowy. Dowieść, ze każda liczba całkowita różna od 0 może być przedstawiona w postaci (3x − 1)(2y − 1) gdzie x,y są liczbami całkowitymi i podobnie w postaci (3x + 1)(2y + 1)

Vax: Na początku zauważmy, że (3x−1)(2y−1) = (3(x−1)+2)(2(y−1)+1), więc mamy pokazać, że każdą liczbę można przedstawić w postaci (3x+1)(2y+1) oraz (3x+2)(2y+1). Zapiszmy naszą liczbę w postaci w postaci n = 2^α * d, gdzie d jest nieparzyste. Jasne jest, że d = 2y+1 dla pewnego całkowitego y, a 2^α = 3x+1 lub 2^α = 3x+2. Jeżeli 2^α = 3x+1 to: n = (3x+1)(2y+1) = (−3x−1)(−2y−1) = (3(−x−1)+2)(2(−y−1)+1) = (3x'+2)(2y'+1) Czyli w tym przypadku n da się przedstawić w postaci (3x+1)(2y+1) oraz (3x+2)(2y+1) dla pewnych x,y. Analogicznie pokazujemy tezę w przypadku 2^α = 3x+2.

ICSP: Dzięki

zadanie: dziekuje

zadanie: mam pytanie: czy po przestudiowaniu tej ksiazki jest szansa, ze tego typu zadania z podzielnosci bede w stanie rozwiazac samodzielnie?

Vax: Nie da się jednoznacznie odpowiedzieć na to pytanie, gdyż sprawa nie jest tak prosta. Każdy człowiek jest inny, jedna osoba może szybciej przyswajać wiedzę a inna wolniej, jednej osobie wystarczy przeczytać teorię, zrobić jedno−dwa zadania korzystając z niej i już doskonale wie o co chodzi, a komuś innemu może to zająć więcej czasu. Nie chciałbym żebyś podchodził do tych pdfów które Ci podesłałem z nastawieniem, że jak je wszystkie przeczytasz od razu będziesz rozwalał większość zadań z teorii liczb, tak łatwo niestety nie ma Jedyne co jest pewne to to, że im więcej zadań będziesz przerabiał, tym więcej będziesz umiał i tym szybciej będziesz wiązał różne fakty, zauważał pewne rzeczy, co przydaje się w całej matematyce, nie tylko teorii liczb. Nie podchodź do tego tak, że na początku przeczytasz wszystko co tam jest a potem będziesz starał się wykorzystać tę wiedzę w praktyce, bo to nic nie da, za dużo jest tam materiału. Po prostu kiedy najdzie ochota zacznij czytać o tym, co Cię w danym momencie zainteresuje, czy to reszty kwadratowe, czy sposoby rozwiązywania kongruencji liniowych/kwadratowych itd.. (ale mając już podstawowe wiadomości, tj wiedząc co to są kongruencje itp żeby wiedzieć o czym się czyta ) czytając możesz wykazywać różne rzeczy o których pisze autor i tym samym będzie Ci się to utrwalać. Przy okazji polecam przerabiać sobie różnego rodzaju zadania olimpijskie − zmuszają do myślenia i większość schematów tam nie pomoże. A przecież nieschematyczne myślenie jest w matematyce najważniejsze

zadanie: dziekuje