Sprawdz monotonicznosc i ograniczonosc ciagu mat: Prosze o lopatologiczne rozwiazanie

	n−1
an =
	2n+1

Panko: definicja : ciąg liczbowy a_n jest ograniczony jeżeli istnieje taka liczba dodatnia M, że każdy wyraz tego ciągu spełnia nierówność I a_n I< M Musimy zauważyć ( obliczamy kilka kolejnych wyrazów ciągu, że są one mniejsze od 1/2) Postulujemy,że M=1/2 . I sprawdzamy, że nierówność I (n−1)/(2n+1) I < 1/2 jest spełniona zawsze ( dla wszystkich n, wszystkich wyrazów ciągu ) In−1I = n+1 bo n+1 >=0 i I 2n+1I = 2n+1 bo 2n+1 >0 bo n∊N stąd I (n−1)/(2n+1) I =(n−1)/(2n+1) <1/2 mnożymy przez 2n+1 >0 dostajemy (n−1 )2< 2n+1 2n−2<2n+1 −2<1 zawsze czyli M=1/2 jest dobrze dobrane i ciąg jest ograniczony

mat:

	3
No chyba coś nie tak (:. Wynik to		i ciag jest rosnacy i ograniczony. Tylko
	(2n+3)(2n+1)

jak do tego dojsc

Panko: wszystko jest ok Odpowiedziałem na pytanie o ograniczoność ciągu. Drugie pytanie to . Czy ciąg jest ( ściśle ) monotoniczny ? Czyli jest rosnący ? tzn a_n+1 −a_n > 0 dla n∊N czy jest malejący ? tzn a_n+1 −a_n < 0 dla n∊N Aby o tym rozstrzygnąć należy obliczyć a_n+1 −a_n − nazywa się to : różnica dwóch kolejnych wyrazów ; a_n+1 = ( ( n+1) −1)/ ( 2(n+1) +1) = n/ ( 2n+3) liczę a_n+1 −a_n =n/ ( 2n+3) − (n−1)/(2n+1) = ( n*(2n+1) −(n−1)*(2n+3) ) / (2n+3)*(2n+1)= 3/ (2n+3)*(2n+1) i widać ,że ten wynik dla n∊N jest zawsze >0 co oznacz ,że ciąg jest rosnący to się liczy jak w schemacie a/b − c/d = (ad−bc)/bd

mat: O fajnie dzieki pomoglo mi to. Sam tez pokminilem trochę i doszedlem do tego ze granica ciagu jest 1/2 zatem ciag jest ograniczony z gory 1/2 i wyliczylem jego kolejne wyrazy i sa mniejsze od 1/2 zatem jest on rosnacy i ograniczony a dokladniej rosnie asymptotycznie