parametr k bunia: wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie k dla których równanie x²+x+1=k² ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi

bunia: ?

Mila: x²+x+1=k²⇔ x²+x+1−k²=0 Trójmian ma pierwiastki⇔ Δ≥0 Δ=1−4*(1−k²)=4k²−3≥0⇔ (2k−√3)*(2k+p{3)≥0

	√3		√3
k≤−		lub k≥
	2		2

Równanie ma mieć całkowite pierwiastki dla pewnych naturalnych k. Jeśli wielomian ma całkowite współczynniki, to całkowite pierwiastki muszą być dzielnikami wyrazu wolnego , w tym równaniu (1−k²) x²+x+1−k²=0⇔ x²+x+(1−k)*(1+k)=0 sprawdzamy dla jakiego k∊N₊ (1−k), (1+k),(−1+k),(−1−k) jest pierwiastkiem równania. (1−k)²+1−k+1−k²=0 i k∊N₊ 1) 1−2k+k²+1−k+1−k²=0 −3k=−3 k=1 2) (1+k)²+1+k+1−k²=0 i k∊N₊ 1+2k+k²+1+k+1−k²=0 k=−1∉N₊ 3)1−2k+k²−1+k+1−k²=0 k=1 4) (−1−k)²−1−k+1−k²=0 i k∊N₊ 1+2k+k²−1−k+1−k²=0 k=−1∉N₊ Odp. k=1