problem maciek: Witam mam problem z zadaniem. Nie wiem zupełnie jak do niego podejść. Mam zbadać czy funkcja f jest odwracalna i w przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznaczyc funkcje odwrotna (jej wzór i przebieg). f(x) = ^{x + 1}_{5x − 1} wiem że Df= R/{¹₅} ale nie wiem co mam zrobić dalej Pomożecie ?

PW:

	x−1/5		6		1		6
f(x) =		+		=		+
	5x−1		5(5x−1)		5		5(5x−1)

	1
Takie przekształcenie pomaga zobaczyć, że funkcja jest różnowartościowa. Dla x >		ułamek
	5

	6
	5(5x−1)

	1
jest dodatni i oczywiście dla różnych x >		osiąga różne wartości (licznik jest stały, a
	5

mianownik jest funkcją różnowartościową, przyjmującą wartości z przedziału (0, ∞).

	1
Dla x <		ułamek ten jest ujemny i oczywiście dla różnych x przyjmuje rózne wartości,
	5

gdyż mianownik jest funkcją różnowartościową przyjmującą wartości z przedziału (−∞, 0). Podsumowanie: − dla x ∊ (−∞, 0)

	1		6		1
f(x) =		+		∊ (−∞,		)
	5		5(5x−1)		5

	1
− dla x ∊ (		,∞)
	5

	1
f(x) ∊(		,∞),
	5

przy czym na obu przedziałach f jest różnowartościowa, a więc jest różnowartościowa w całej dziedzinie. To ważny moment rozumowania − z różnowartościowości na dwóch przedziałach na ogół nie wynika różnowartościowość funkcji na całej dziedzinie, ale w tym wypadku na

	1		1
pierwszym przedziale wartości są mniejsze od		, a na drugim − większe od		, stąd
	5		5

wniosek o różnowartościowości na całej dziedzinie.

	1
Funkcja f jest więc odwracalna i jej zbiorem wartości jest R\{		}.
	5

Wzór określający funkcję odwrotną znajdziemy wyliczając x z wzoru − definicji funkcji f

	x+1
y =		.
	5x−1

5yx − y = x + 1 (5y−1)x = y + 1

	y+1
x =		.
	5y−1

Tak więc funkcja odwrotna do badanej określona jest wzorem:

	y+1		1
g(y) =		, y ∊ R\{		}.
	5y−1		5

Wynik jest może zaskakujący − toż to ten sam wzór, którym była określona funkcja f (mechanicznie zamienione x na y i odwrotnie). Tyle roboty na nic. Jak wiadomo wykres funkcji odwrotnej do f można uzyskać jako efekt symetrii o osi y=x wykonanej na wykresie funkcji f. Wykres funkcji f jest znany (homografia), a więc i wykres f⁻¹ = g narysujemy bez trudu. Zobaczymy wtedy potwierdzenie, że rachunki były poprawne − wykres funkcji f jest symetryczny względem osi y=x, a więc wykres funkcji odwrotnej pokrywa się z wykresem badanej funkcji.

Eta:

PW: Eta, dziękuję (przyznam, że sam byłem zadziwiony tym rozwiązaniem).

maciek: DZIĘKI WIELKIE ! Ratujesz mi tyłek tym