dyskretna :) PuRXUTM: hej mam parę zadań z dyskretnej, ze 40 które wykładowca poleca żeby zrobić przed egzaminem będę pisał moje rozwiązania, jakby było coś źle to pomagajcie 1. Ile można utworzyć komisji składających się z 4 osób wybranych z 9−osobowej grupy?

	9 4
Tutaj po prostu kombinacje		=126

2. Odpowiedzieć na poprzednie pytanie przy dodatkowym założeniu, że są dwie osoby, Iza i Maciek, które nie chcą być w tej samej komisji. To można zrobić na 2 sposoby 1)

	7 3
a) Iza jest w komisji wtedy wybieramy 3 osoby z 7 bo Maćka nie możemy wziąść czyli

	7 3
b) Maciek jest w komisji analogicznie

	7 4
c) w komisji nie ma ani Maćka ani Izy czyli

i wychodzi 105 2) Obliczamy na ile sposobów można utworzyć komisje z Maćkiem i Izą i od wszystkim możliwości odejmujemy właśnie te

	7 2
czyli 126−		=105

cdn

PuRXUTM: 3. Ile można utworzyć komisji składających się z 5 mężczyzn i 4 kobiet wybranych z grupy, w której jest 10 mężczyzn i 11 kobiet?

10 5		11 4
	*

mógłby ktoś objaśnić dlaczego * bo wiem że tak ma być i w miarę to "czuje" ale mógłby ktoś o tym coś napisać

Maslanek: Ja sobie to tłumaczę, że są to zdarzenia niezależne. Jak iloczyn kartezjański dwóch zbiorów Bierzemy elementy z pierwszego jako poprzednik i z drugiego jako następnik

Janek191: Bo 5 mężczyzn wybieramy z grupy 10 mężczyzn , a 4 kobiety wybieramy z grupy 11 kobiet. Jeszcze mężczyzn nie przebrano w sukienki i wybór jest prosty ( nie tak jak w genderowskich "równościowych" przedszkolach ! ).

PuRXUTM: 4. Hasło komputerowe składa się z jednej litery alfabetu (nie używamy polskich liter) po której następuje 4 lub 5 cyfr ze zbioru {0,1,...,9}. Znaleźć: (a) Liczbę wszystkich możliwych haseł, którą można utworzyć; (b) Liczbę wszystkich możliwych haseł, w których cyfry się nie powtarzają. a) 32*10*10*10*10+32*10*10*10*10*10=320000+3200000=3520000 b) 32*10*9*8*7+32*10*9*8*7*6 dobrze

Maslanek:

PuRXUTM: 5. Znajdź liczbę takich n wyrazowych ciągów złożonych z cyfr 0, 1, że liczba 1 występuje parzystą liczbę razy. no i tu już potrzebuję pomocy próbuję to tak zrobić 1⁰ dla n−parzystego to będą takie ciągi że jedynek będzie n, n−2, n−4,...,0 czyli

	(n+0)*(0,5n+1)		1		1
		=		n2+		n
	2		4		2

2) dla n− nieparzystego n−1,n−3,...2,0

(n−1)((n−1)/2+1)		1		1
	=		n2−
2		4		4

	1		1		1
czyli wynik to		n2+		n−		?
	2		2		4

PuRXUTM: 6. A i B są studentami w grupie liczącej n studentów n ≥ 3. Znaleźć liczbę sposobów przypisania naszych studentów do n pokoi w taki sposób, że: (a) A i B mają sąsiednie pokoje; (b) A i B nie mają sąsiednich pokoi. nie wiem czy w takiej sytuacji inni studenci są rozróżnialni, czy nie jak są nierozróżnialni to a) 2*(n−1) jak są rozróżnialni to 2*(n−1)* (n−2)! b) jak są nierozróżnialni to wszystkich sposobów na ich przypisanie jest n*(n−1) więc jak odejmiemy od tego te sytuacje w których są obok siebie ( 2(n−1)) to otrzymamy szukaną liczbę sposobów n(n−1)−2(n−1)=(n−1)(n−2) jak są rozróżnialni to wszystkich sposobów jest n!, jak są obok siebie 2*(n−1)* (n−2)! czyli n!−2*(n−1)* (n−2)!=(n−2)!(n(n−1)−2(n−1))=(n−2)!(n−1)(n−2)=(n−1)!(n−2)

Maslanek: Do 5: 5/1: niezgodność dla n=4, 5/2: niezgodność dla n=1.

Maslanek: Albo nie wiem , może zgodnie w 5/1

PuRXUTM: no źle to chyba jest... ma ktoś jakiś pomysł

PuRXUTM: 8. W pewnej grupie składającej się ze 150 osób 45 regularnie pływa, 40 jeździ na rowerze, a 50 uprawia jogging. Wiemy ponadto, że są 32 osoby, które uprawiają jogging, ale nie jeżdżą na rowerze, 27 takich, które uprawiają jogging i pływają i 10 uprawiających wszystkie trzy rodzaje aktywności. (a) Ile osób uprawia jogging, ale nie pływa i nie jeździ na rowerze? (b) Jeśli wiemy dodatkowo, że 21 osób jeździ na rowerze i pływa, to ile nie uprawia żadnej z powyższych aktywności? Da się to zrobić metodą włączeń i wyłączeń bo na kółkach wychodzi jak sobie rozrysuje

Maslanek: Do 5: Biorę n parzyste Dla n=2: mam 00, 11

	4!
Dla n=4: 1+		+1 = 8
	2!*2!

	6!		6!
Dla n=6: 1+		+		+1 = 17
	2!*4!		4!*2!

Dla n=8: 128

Maslanek: Korzystam z permutacji z powtórzeniami.

PuRXUTM: a mógłbyś wyjaśnić mi tą permutacje z powtórzeniami

Maslanek:

	n 0		n 2		n 4		n n
Ogólny wzór dla n (parzystych), to byłoby		+		+		+...+		= 2n−1 zdaje

się

Maslanek: Kalkulator mnie zwodzi... Dla n=6 mamy 32.

Maslanek: Permutacja z powtórzeniami. Jeśli mamy różne wyrazy (litery) powiedzmy w MATEMATYKA, to sposoby ułożenia różnych słów z

	n!
liter tego słowa to Pn(k1, k2, k3 ...) =
	k1!*k2!*k3!...

gdzie n−ilość wyrazów k₁ − ilość powtórzeń wyrazu 1 k₂ − ilość powtórzeń wyrazu 2 itd. Czyli nic innego jak permutacje z tym, że odrzucamy te wyrazy, które się powtarzają

PuRXUTM: a jak to się ma do naszego zadania

Maslanek: Bo kładę ciąg mający n wyrazów. Biorę najpierw 0 jedynek − więc zera kładę na 1 sposób

	n 2
Biorę 2 jedynki − kładę je na		sposobów, a resztę dobieram zer

	n 4
Biorę 4 jedynki − kładę je na		sposobów, a resztę dobieram zer.

Itd. Albo permutacja z powtórzeniami:

	n!
Biorę 0 jedynek i mam n wyrazów i n zer, czyli: Pn0 =
	n!*0!

	n!
Biorę 2 jedynki i mam n wyrazów i n−2 zer, czyli Pn0 =
	2!*(n−2)!

itd.

Maslanek: Tam w drugiej linijce chciałem napisać P_n2, czyli ilość permutacji dla dwóch jedynek

Maslanek: Dla n nieparzystych też będziemy mieć 2ⁿ⁻¹. Na tej samej zasadzie

PuRXUTM:

	n 0		n 2		n n
a dlaczego		+		+...+		=2n−1

	n 0		n 1		n n
bo że		+		+...+		=2n to wiem

Maslanek:

	n 2		n 4
Jesli chodzi o dowód, że 1+		+		+..., to właśnie nad nim pomyślałem (zdawało się to

oczywiste, ale jak spróbowałem go wymyślić, to okazało się trudne xD)

n 2		n−1 1		n−1 2
	=		+

n 4		n−1 3		n−1 4
	=		+		, itd.

	n−1 0
oraz 1=

	n−1 0		n−1 1		n−1 2		n−1 n−1
Stąd mamy, że L=		+		+		+...		=(1+1)n−1 = 2n−1.

Maslanek: Też się nad tym zacząłem zastanawiać

PuRXUTM: dzięki

Maslanek: już koniec? Nie rób tego, bo do logiki będę siadał xD

PuRXUTM: nie koniec a o logice też możemy podyskutować

PuRXUTM: czyli rozwiązanie tego to 2ⁿ tak ?

PuRXUTM: albo nie... 2ⁿ⁻¹

Maslanek: mhm Łatwo sprawdzisz

PuRXUTM: jak łatwo sprawdzę wydaje mi się że 2ⁿ⁻¹