. asdf: Witam, zadanie: Strzelec trafia do celu z prawdopodobienstwem 0,5. Ile musi oddac strzalow, aby prawdopodobienstwo tego, ze czestosc trafienia do celu roznila sie od 0,5 o co najwyzej 0,1 bylo rowne 0.95. no to robię: P(|X| < 0,1) = 0.95

	n
EX = n*p =
	2

	n		√n
D2X = npq =		⇒ √D2X =
	4		2

	n		√n
normalizuję według N(		,		):
	2		2

	n   −0,1 −   2		n   0,1 −   2
P(		< X <		) = 0.95
	√n   2		√n   2

teraz mam z tablic:

	n   0,1 −   2
2*P(0 < X <		) = 0.95
	√n   2

	n   0,1 −   2		1
2*(F(		) −		) = 0.95
	√n   2		2

	n   0,1 −   2
2* F(		) = 1.95
	√n   2

	n   0,1 −   2
F(		) = 0.975
	√n   2

mozna tak?

asdf: :(

Trivial: W zależności od wartości parametrów rozkład dwumianowy można przybliżać innymi rozkładami: Jeśli zarówno np, jak i n(1 − p) są większe od 5, wtedy rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym: N(np, √np(1−p)). Jeśli n jest duże, a p jest małe (czyli np ma umiarkowanie dużą wartość), dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego jest rozkład Poissona z parametrem λ = np. Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_dwumianowy Szukamy odpowiedniego n: http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5*erfc%28-%28%280.1-x%2F2%29%2F%28sqrt%28x%29%2F2%29%29%2F%282*sqrt%282%29%29%29+%3D+0.975 Więc raczej takie przybliżenie się nie nadaje.

asdf: dzieki, na razie z tego nie wiele kumam..

Trivial: A nie, sorry. Źle wpisałem wzór do wolframa. http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5*erfc%28-%28%280.1-x%2F2%29%2F%28sqrt%28x%29%2F2%29%29%2F%28sqrt%282%29%29%29+%3D+0.975

	1		μ−x
Rozkład N(μ,σ) ma dystrybuantę F(x) =		erfc(		).
	2		√2σ

	1		x
W szczególności, dla μ=0, σ=1 dystrybuanta jest F(x) =		erfc(−		)
	2		√2

erfc(x) to taka śmieszna funkcja całkowa.

asdf: ale mi chodzi o to jak sie rozwiazuje takie zadania (nie chce wykuc "sposobow rozwiazywania zadan" − jak wiekszosc ludzi tylko to zrozumieć). Moglbys mi ten przyklad lopatologiczne wytlumaczyc

Trivial: W ogóle to rozwiązujesz złe równanie.

	k
Częstość trafienia do celu wyraża się wzorem		, gdzie k − liczba sukcesów. Liczba k ma
	n

rozkład dwumianowy, który dla dużej liczby n można przybliżyć rozkładem normalnym. K ~ B(n,p) K ~ B(n, ¹₂) X ~ N(np, √npq) X ~ N(¹₂n, ¹₂√n) K ≈ X Zatem P(|K/n) − 0.5| ≤ 0.1) ≈ P(|(X/n) − ¹₂| ≤ 0.1) Interesuje nas zmienna losowa Y = (X/n) − ¹₂, a nie samo X. μ_Y = E[(X/n) − ¹₂] = (1/n)*E[X] − ¹₂ = (1/n)*¹₂n − ¹₂ = 0

	1
σY = √Var[Y] = √Var[(X/n) − 12] = √Var[X]/n2 = √npq/n2 =
	2√n

Standaryzujemy zmienną Y.

	Y−μY
Z =		= Y*2√n
	σY

P(|(X/n) − ¹₂| ≤ 0.1) = P(|Z| ≤ 0.1*2√n) = P(|Z| ≤ ¹₅√n) = 2*P(0 ≤ Z ≤ ¹₅√n) = 2*(F(¹₅√n) − ¹₂) = 2F(¹₅√n) − 1 Zatem mamy równanie do rozwiązania: 2F(¹₅√n) − 1 = 0.95 F(¹₅√n) = 0.975 I rozwiązanie: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F2%29*erfc%28-%281%2F5%29*sqrt%28n%2F2%29%29++%3D+0.975

asdf: dzieki

Trivial: A tutaj sprawdzenie rozwiązania bez przybliżenia: n = 96: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%281%2F2%29^n*binom%28n%2Ck%29%2C+k+%3D+%28ceil%280.4*n%29..floor%280.6*n%29%29+where+n+%3D+96 n = 97: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%281%2F2%29^n*binom%28n%2Ck%29%2C+k+%3D+%28ceil%280.4*n%29..floor%280.6*n%29%29+where+n+%3D+97