. Piotr 10: Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n=√n²+2n − √n²−2n. Wykaż, że a_n > 2 dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n > 1 a_n > 2 √n²+2n − √n²−2n.> 2 *(..)² In²+2nI − 2√(n²+2n)(n²−2n) + In²−2nI > 4 n²+2n − 2√n⁴−4n²+n²−2n > 4 2n² − 2√n²(n²−4) > 4 2n² − 2n√n²−4 > 4 2n² − 4 > 2n√n²−4 (..)² (obie strony dodatnie) 4n⁴−16n²+4 > 4n⁴−16n² 4 > 0 Wykonując ciąg równoważnych przekształceń doszedłem do wniosku, że nierówność końcowa jest prawdziwa, a więc nierówność wyjściowa też musi być spełniona. OK?

ICSP: Równoważnych Nie widzę nigdzie wyjaśnienia dlaczego √n² + 2n − √n² − 2n nie przyjmie wartości np −3 Wtedy masz swoją równoważność : −3 > 2 //² 9 > 4

Piotr 10: Ale tam chyba lewa strona jest dodatnia

MQ: Dlatego, jeśli już się chce wychodzić od tezy, to lepiej robić dowody niewprost, czyli zaczynać od zaprzeczenia tezy i doprowadzić do sprzeczności.

ICSP: Nie uznaje uzasadnienia w którym występuje słowo "chyba"

Piotr 10: √n²+2n − √n²−2n jest większe od zera, bo n > 1

ICSP:

Piotr 10: Mam obie strony dodatnie, więc do kwadratu mogę obie strony podnieść

ICSP: ale dlaczego są dodatnie ? Konkret

ZKS: Wystarczyło by zrobić tak √n² + 2n − √n² − 2n > 2 √n² + 2n > √n² − 2n + 2 / ² n² + 2n > n² − 2n + 4 + 4√n² − 2n 4(n − 1) > 4√n² − 2n n − 1 > √n² − 2n / ² (dla n > 1 lewa strona jest dodania) n² − 2n + 1 > n² − 2n wtedy masz pewność że obie strony są dodatnie.

Piotr 10: √n²+2n >√n²−2n dla każdego n > 1 i n∊N

Piotr 10: ?

Piotr 10:

ICSP: Nadal tego nie widzę xD

MQ: Ale go dręczysz

ZKS: Piotr 10 rozwiąż tę nierówność √n² + 2n > √n² − 2n wtedy pokażesz że takie coś zachodzi dla n > 1 ∧ n ∊ N.

MQ: Po co? 2n>−2n n²=n²

ZKS: A to nie jest rozwiązanie nierówności przez pokazanie tego jak to właśnie zrobiłeś że zachodzi taka nierówność dla n > 1?

PW:

	a2−b2
a−b =
	a+b

U nas dla n>1ułamek ten równy jest

	4n		4n
		>		=
	√n2+2n+√n2−2n		√n2+2n+1+√n2−2n+1

	4n		4n		4n
=		=		=		= 2.
	√(n+1)2+√(n−1)2		n+1+n−1		2n

Nierówność wynika z faktu zastąpienia mianownika liczbą większą (w ułamku o liczniku i mianowniku dodatnim).

Piotr 10: To w końcu co mam zrobić, bo już nie wiem sam ?. Dobrze jest to co napisałem, czy nie?

Piotr 10: To oczywiste, że lewa strona jest dodatnia dla n > 1, więc nie wiem po co to uzasadniać

PW: Dobrze napisał ZKS − tam widać ciąg nierówności równoważnych. Ja jestem wrogiem "wychodzenia od tezy", więc pokazałem wcale nie dłuższy i nie bardziej skomplikowany dowód "wprost".

Piotr 10: Tylko dla mnie ciężko czasami robić dowód nie wychodząc od tezy, nie mój poziom jeszcze. Dzięki za pomoc