Funkcja kwadratowa Kostek: matyk Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c funkcja f(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a) ma co najmniej jedno miejsce zerowe Proszę o wskazówkę do zadania

matyk: To nie jest zadanie na maturę

Piotr 10: Wymnóż to na razie wszystko i pokaż obliczenia, potem szukasz wzorów skróconego mnożenia na końcu postaci (a−b)²+(b−c)²+(a−c)² ≥ 0

matyk: Skoro to funkcja kwadratowa to nasuwa się pomysł liczenia delty

Piotr 10: matyk zadanko na maturę w sam raz

Kostek: Ok to następne. Dane jest równanie x²+(m+1)x+3m−2=0 z niewiadomą x Uzasadnij, że −3 nie jest rozwiązaniem tego równania dla żadnej wartości parametru m

Piotr 10: Przeprowadź dowód nie wprost założ ze −3 jest rozwiązaniem tego równania

Bogdan: f(x) = (x − a)(x − b)+(x − b)(x − c)+(x − c)(x − a) = 3x² + (−2a − 2b − 2c)x + (ab + ac + bc) Δ = 2(2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2ac − 2bc) = 2[(a − b)² + (b − c)² + (c − a)²]

Kostek: Dziękuję

matyk: Ależ proszę

Vax: Bez straty ogólności niech a ≥ b ≥ c, wówczas f(a) = (a−b)(a−c) ≥ 0, oraz f(b) = (b−c)(b−a) ≤ 0, a ponieważ dana funkcja jest ciągła, więc na mocy własności Darboux w przedziale [b;a] musi mieć co najmniej jedno miejsce zerowe, qed.

matyk: Od kiedy to własność Darboux uczy się w liceum? Stara podstawa tego nie uczy...

matyk: W nowej dopiero ciągłość ma prawo się pojawić.

PW: Jednakowoż dowód Vaxa jest piękny.