Pierwiastki stopnia trzeciego
Saper: wykaż, że:
3√9+√80 + 3√9−√80 = 3
Jak to najszybciej wykazać, podnoszenie do 3 potęgi mija się z celem, chyba, żeby przenieść
jeden pierwiastek na drugą stronę?
Liczę na pomoc.
2 gru 17:37
Bizon:
... a może jednak do tej trzeciej potęgi −
2 gru 17:55
Saper: i sądzisz, że nie da się krócej? (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, zobacz, że przy takim
rozpisaniu będę miał zbyt dużo różnych wykładników, żeby tak to rozwiązywać.
Zauważyłem, że 9+√80 = (2+√5)2
2 gru 17:58
as:
| | 3 | | √5 | |
wystarczy zauważyć,że 9 + √80 = ( |
| + |
| )3 |
| | 2 | | 2 | |
2 gru 18:00
Saper: właśnie takiego czegoś poszukiwałem, jak napisał(a) as. Moje pytanie brzmi, przy wzroach
skróconego mnożenia na potęgi drugie zadanie jest łatwe. Jak starać się szukać takich liczb,
żeby znaleźć właśnie to, co znalazłeś/aś ?
2 gru 18:02
elsaper: podbijam
3 gru 13:41
wredulus_pospolitus:
hmmm
krok 1) 'wyciągasz' co się da z pierwiastka: √80 = √5*16 = 4√5
krok 2) jako, ze obie liczby są dodatnie, więc będzie to (a+b)3
krok 3) wiesz, że (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
krok 4) 'zakładasz', że 'a' będzie liczbą wymierną, natomiast pierwiastek będzie w liczbie 'b'
krok 5) tworzysz układ równań:
a3 + 3ab2 = 9
3a2b + b3 = 4√5 (co jest zgodne z założeniem z kroku 4)
krok 6) rozwiązujesz ten układ i masz już 'a' i 'b'
albo ... masz po prostu wprawę i ten tok rozumowania robisz w pamięci 'wyszukując' liczby 'a' i
'b'
3 gru 14:11
wredulus_pospolitus:
wskazówka ... dodatkowo wiesz, że 'b' będzie postaci: 'liczba wymierna'*
√5
czyli de facto masz uklad (gdzie b= c*
√5)
a
3 + 15ac
2 = 9
√5(3a
2 + 5c
3) = 4
√5
gdzie: a i c to liczby wymierne
3 gru 14:30
pigor: ..., wykaż, że:
3√9+√80+
3√9−√80 = 3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
..., a ja widzę to − łopatologicznie rzecz ujmując − :
(tylko pozornie trudne i długie rozwiązanie) np. tak :
wiadomo, że
(a+b)3= a
3+3a
2b+3ab
2+b
3+b
3=
a3+b3+ 3ab(a+b) więc
niech
w(x)=
3√9+ √80+ 3√9−√80= x /
3 obustronnie ⇔
9+
√80+9−
√80+ 3
3√9+√80*
3√9−√80 (
3√9+√80+
3√9−√80)= x
3 ⇔
⇔ 3
3√92−√802 (
3√9+√80+
3√9−√80) = x
3−18 ⇔
⇔ 3
3√81−80* x = x
3−18 ⇔
x3−3x−18= 0 i przez zwykle
podstawienie widać, że
x=3 zeruje ten wielomian, czyli
w(3)=0, c.n.w
lub dalej :
x3−3x−18=0 ⇔ x
3−3x
2+3x
2−9x+6x−18=0 ⇔ x
2(x−3)+3x(x−3)+6(x−3)=0 ⇔
⇔ (x−3) (x
2+3x+6)= 0 ⇔ x−3= 0 i x
2+3x+6 >0 ∀x∊R ⇔
x=3, c.n.w. ...
3 gru 15:15
elsaper: Dziękuję bardzo, zastanawiało mnie właśnie, które wyrażenia z a
3+3a
2b +3ab
2+b
3 wziąć, żeby
dwa równały się 9, a kolejne dwa
√80
Dzięki bardzo
3 gru 21:23