Metryki Rafał: Help! Niech f: R²−R będzie funkcją różnowartościową. Pokazać że wzór d(x,y)=|f(x)−f(y)| definiuje metrykę w zbiorze R.

Godzio: f : R² → R jest funkcją różnowartościową czyli: ∀_{(x1,x2),(y1,y2)∊ R²} takie, że (x₁,x₂) ≠ (y₁,y₂) ⇒ f(x₁,x₂) ≠ f(y₁,y₂) d(x,y) = |f(x) − f(y)| ≥ 0 x = (x₁,x₂), y = (y₁,y₂) f(x,y) = 0 ⇔ |f(x) − f(y)| = 0 ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y ponieważ f różnowartościowa d(x,y) = |f(x) − f(y)| = |− (f(y) − f(x)) | = |f(y) − f(x)| = d(y,x) z = (z₁,z₂) d(x,z) = |f(x) − f(z)| = |f(x) − f(y) + f(y) − f(z)| ≤ |f(x) − f(y)| + |f(y) − f(z)| = d(x,y) + d(y,z)