Udowodnij, że liczba jest całkowita.
john2: Udowodnij, że
3√5√2 + 7 −
3√5√2 − 7 jest całkowite.
Witam,
Zadanie jest rozwiązane tutaj
https://matematykaszkolna.pl/strona/696.html
Wiem, że zadanie można zrobić też tak:
x =
3√5√2 + 7 −
3√5√2 − 7
x
3 = (
3√5√2 + 7 −
3√5√2 − 7)
3
Wyliczyć x i wychodzi 2.
Ale mnie ciekawi, jak Jakub
wpadł na to, że
5
√2 + 7 = (
√2 + 1)
3 oraz
5
√2 − 7 = (
√2 − 1)
3
Rozumiem, że np. 5
√2 + 7 ma być wynikiem a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3, więc
a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3 = 5
√2 + 7
Szukamy a i b:
Jedno z nich, chyba widać, że musi być równe
√2, gdyż
a
3 + 3a
2b + 3
ab
2 + b
3 = 5
√2 + 7
Pytanie, jak wpaść na to, że drugi jest równy 1?
30 lis 19:17
Rafał28:
(a
√c + d)
2 = a
2c + 2a
√cd + d
2
(2e
√f + g)
5 = 10e
3f
√fg
2 + e
5f
2√f + 5e
4f
2g + 5e
√fg
4 + 10e
2fg
3 + g
5
W tego typu wyrażeniach wygląda na to, że pierwiastek występuje tylko odpowiednio przy c jak i
przy f.
Mając wyrażenie 5
√2 + 7 śmiem twierdzić, że da się zapisać w postaci:
(a
√2 + b)
n a, b całkowite
W zadaniu mam pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 5
√2 + 7, gdyby dało się zapisać jako:
(a
√2 + b)
2 to (a
√2 + b)
2 = 2a
2 + b
2 + 2
√2ab
Chcąc nie chcąc
3√ z takiego wyrażenia nie będzie całkowitą liczbą, dlatego przechodzę do
najbardziej odpowiedniego n=3 dla tego zadania.
(a
√2 + b)
3 = 2
√2a
3 + 6a
2b + 3
√2ab
2 + b
3 =
√2(2a
3 + 3ab
2) + 6a
2b + b
3
| ⎧ | 2a3 + 3ab2 = 5 | |
| ⎩ | 6a2b + b3 = 7 |
|
a =1; b=1
30 lis 23:52
john2: Dziękuję za odpowiedź.
1 gru 10:03