to od pocztąku Radek: Mila zajrzy tutaj jak masz czas Udowodnij, że jeśli a+b≥0 to prawdziwa jest nierówność a³+b³≥a²b+ab² a³+b³−a²b+ab²≥0 a³−a²b+b³+ab²≥0 a²(a−b)+b²(b+a)≥0 a²(a−b)−b²(a−b)≥0 (a−b)(a²−b²)≥0 (a−b)(a−b)(a+b)≥0 (a−b)²(a+b)≥0 jeżeli a+b≥0 to iloczyn (a−b)²(a+b)≥0 tak Matura poszła słabo i chcę sobie od początku to poprzypominać te teza, założenia ale nie wiem o co w tym chodzi ?

Saizou : −założenia to nasze pewniki w zadaniu np. tutaj mamy że zał: a+b≥0 − teza to co mamy do udowodnienia, czyli tutaj: teza: a³+b³≥a²b+ab² − dowód− cześć w której pokazujemy że teza jest prawdziwa lub fałszywa

Radek: A dowód ok ?

Saizou : nie: bo na samym początku masz nie zmieniony znak a³+b³−a²b−ab²≥0

Radek: a³+b³−a²b−ab²≥0 a³−a²b+b³−ab²≥0 a²(a−b)+b²(b−a)≥0 a²(a−b)−b²(a−b)≥0 (a−b)(a²−b²)≥0 (a−b)(a−b)(a+b)≥0 (a−b)²(a+b)≥0 komentarz taki jak przedtem

Saizou : napisz że wykonując ciąg równoważnych przekształceń dochodzę do prawdy, bo (a−b)²≥0 bo kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny założeń (a+b)≥0 zatem iloczyn tych liczb jest nieujemny, zatem teza jest prawdziwa

Radek: ok to następny

	a4+b4		a2+b2
4√		≥√		wykaż, że ta nierówność jest spełniona przez wszystkie
	2		2

liczby rzeczywiste a i b ?

Saizou : z nierówności o średnich mamy że średnia potęgowa rzędu 4 ≥ średniej potęgowej rzędu 2 (kwadratowej) ckd

Mila: Radek w przyszłym tygodniu, obecnie mam problemy z komputerem. Wpadam na chwilę. Udowodnij, że jeśli a+b≥0 to prawdziwa jest nierówność a³+b³≥a²b+ab² Sprawdzamy czy zachodzi nierówność: a³+b³≥?a²b+ab²⇔ a³+b³≥ab(a+b)⇔ (a+b)(a²−ab+b²)−ab(a+b)≥0⇔ (a+b)*(a²−2ab+b²)≥0 ⇔ (a+b)*(a−b)²≥0 nierówność prawdziwa, ponieważ (a+b)≥0 z założenia i (a−b)²≥0 dla dowolnych a i b. Twoje przekształcenia 19:10 też dobre.

Radek: ⇔ co to znaczy ?

Mila: Równoważne.

Radek: a 19:16 ?

Mila: Do jutra.Muszę zwolnic komputer.

Saizou : a może jakieś pomysły Radek

Radek: Podnieś do 4 stopnia ?

Saizou : ok i dalej....

Radek:

a4+b4
	>....a tutaj jak będzie ?
2

Saizou :

	a4+b4		a2+b2
4√		≥√		/4
	2		2

a4+b4		a2+b2
	≥((		)1/2)4
2		2

a4+b4		a2+b2
	≥(		)2
2		2

a4+b4		a4+2a2b2+b4
	≥
2		4

i dalej....

Radek:

a4+b4		a4+2a2b2+b4
	≥		/4
2		4

2a⁴+2b⁴≥a⁴+2a²b²+b⁴ 2a⁴+2b⁴−a⁴−2a²b²−b⁴≥0 a⁴+b⁴−2a²b²≥0 (a²−b²)≥0 ?

Saizou : ostatni wers jest zły jaki tam jest wzór skróconego mnożenia?

Radek: (a²−b²)²≥0

Saizou : + komentarz : kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny

Radek: Masz jeszcze chwilkę ?

Saizou : wrzuć zadanko to zobaczę

Radek:

	1
Wykaż, że jeśli dla pewnej liczby rzeczywistej a(a≠0) zachodzi związek a+		=3 to wynika z
	a

	1
tego, że a3+		=18
	a3

jak zacząć ?

ICSP:

	1
Zacznij od rozpisania (a +		)3
	a

Saizou : skorzystaj ze wzoru (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³⇒a³+b³=(a+b)³−3a²b−3ab³=(a+b)³−3ab(a+b)

Eta:

Saizou : Eto można zrobić to zadanko z nierówności o średnich? patrz godz 19:20

Radek:

	3		1
a3+3a+		+		ok ?
	a2		a3

ICSP: nie

Radek: Gdzie jest błąd w takim razie ?

ICSP: Szukaj. To prosty wzór skróconego mnożenia

Saizou : 3ab²

	1		3
3a*		=
	a2		a

Radek:

	1		1		1
a3+3*a2*		+3a*		+
	a		a2		a3

tak rozpisałem na razie ?

ICSP: ech ...

Radek: a no tak bo nie skróciłem a i co dalej ?

Saizou : zobacz na mój post z 20:23

Eta:

	1		1		1		1
a3+		= (a+		)3− 3*a*		*(a+		)= ........
	a3		a		a		a

Saizou : Eta dokładnie to samo napisałem

Eta: Wiem, wiem dla Saizou

Saizou : a ten dowód ze średnimi mogła byś zobaczyć ?

Eta: @[NSaizou]] Jeżeli w treści jest wykaż nierówność ... to tak można jeżeli w treści jest wykaż,że zachodzi nierówność między średnimi .. to trzeba podać ten dowód ale... dla bezpieczeństwa o utratę punktów lepiej jest przeprowadzić ten dowód Zapytaj Bogdana

Radek: Dziękuję Zaraz będą kolejne zadania

Radek: O pięciu liczbach całkowitych wiadomo. że suma reszt z dzielenia tych liczb przez 5 jest podzielna przez 5. Udowodnij, że również suma tych pięciu danych liczb jest podzielna przez 5. A tutaj co najpierw ?

Saizou : dzięki Eto jak będę widział Bogdana i nie zapomnę to się zapytam

Radek: ?

Saizou : a=5m+f b=5n+g c=5l+h d=5p+r e=5q+w −−−−−−−−−−−−+ a+b+c+d+e=5(m+n+l+p+q)+f+g+h+r+w f+g+h+r+w podzielne przez 5 z treści zadania 5(m+n+l+p+q) też podzielne przez 5, bo m+n+l+p+q∊C zatem ich suma też podzielna jest przez 5 założenia każda literka co się pojawiła należy do całkowitych PS. pół alfabetu a zadanie do rozwiązania w 1 min.

Radek: nie chciałem rozwiązania

Eta:

Radek: No tak chciałem żeby ktoś wytłumaczył, taka jest prawda ! i nie ma się z czego śmiać..

Eta:

Radek: Tak dokładnie

Saizou : to przeprasza, a na osłodę

	3m−5
wykaż że dla każdego m∊N+ liczba w postaci		(m3−3m2+2m) jest liczbą całkowitą
	12

Eta: Kiedyś Ci to zadanie dawałam Saizou

Radek:

3m−5m3+15m2−10m
	dobrze kombinuje ?
12

Saizou : Eto może, nie pamiętam nie, coś żeś źle wymnożył

Radek: Czemu źle

3m−5(m3−3m2+2m
12)

3m−5m3+15m2−10m
	?
12

−5m3+15m2−7m
12

m(−5m2+15m−7
	?
12

Saizou : bo mnożysz cały licznik przez to co stoi przed ułamkiem a nie tylko 5

Radek:

(3m−5)(m3−3m2+2m)
12

3m4−9m3+6m2−5m3+15m2−10m
12

3m4−14m3+21m2−10m
12

m(3m3−14m2+21m−10
12

ok jak do tej pory ?

Saizou : no i dalej....

Radek:

m(m−1)(3m2−11m+10)
12

5   m(m−1)(m− )(m−2)   3
12

ale co dalej ?

Saizou : źle

	5
m(m−1)(3m2−11m+10)≠m(m−1)(m−		)(m−2)
	3

Radek: Δ=11²−4*3*10 Δ=1

	11−1		5
m1=		=
	6		3

	11+2
m2=		=2
	6

?

Saizou : a współczynnik a to gdzie?

Radek:

5   3m(m−1)(m− )(m−2   3
12

5   m(m−1)(m− )(m−2)   3
	no i ?
4

Saizou : ja bym wrócił jednak do zapisu m(m−1)(m−2)(3m−5) i pokazał że to jest podzielne przez 12

Radek: to jest podzielne przez 6 max mówię o tym (m−2)(m−1)m ?

Godzio: Wskazówka: Rozpisz (3m − 5)

Radek: (2m+4+m+1) ?

Radek: 2m−4+m−1

Godzio: Prościej , tak żeby Ci coś dało

Radek: 3m−5 2m+m−5 2(m+1)−5 ?

Godzio: Pomyśl ! Nie chce dawać gotowca, bo to już będzie prawie koniec, co Ci potrzebne żeby to: m(m − 1)(m − 2) było podzielne przez 12 ?

Radek: 2

Godzio: No dobra dwójkę jedną masz z 2(m + 1), ale przemnożenie przez 5 nic Ci nie da ! m(m − 1)(m − 2)(a + b) = am(m − 1)(m − 2) + bm(m − 1)(m − 2) a,b − jakieś wyrażenia Więcej nie podpowiadam

Radek: (m+1) i (m−3) ?

Godzio: No na przykład ! Ja myślałem o tym: 3m − 5 = 3m + 3 − 8 Ale Twoje jest nawet ładniejsze O to chodziło !

Radek: Dzięki !

Saizou : Radek chcesz jeszcze jakieś zadanko ?

Radek: Mam na razie swoje zadanie których nie potrafię zrobić ale jutro chętnie !

Saizou : takie proste

Radek: To poproszę

Saizou : Liczby naturalne dodatnie a,b,c,d spełniają warunek ³√abc=4 i ⁴√abcd==2√10. Oblicz wartość d

Radek: ⁴√abcd=2√10 abcd=1600

	1600
d=
	abc

³√abc=4 abc=64

	1600
d=		\d=25
	64

Saizou : mówiłem że proste

Radek: Ja idę do swoich zadań dziękuję za pomoc i cierpliwość Jest jeszcze dla mnie szansa !

Radek: ?