tożsamość karo: Korzystając ze wzoru de Moivre udowodnić tozsamość: cos5x=16cos⁵x−20cos³x+5cosx jakaś podpowiedź? nie wiem za bardzo jak zamieniać takie liczby na liczby zespolone

ICSP: Przyjmuj z = (cosx + isinx) z⁵ = z⁵ (cosx + isinx)⁵ = (cosx + isinx)⁵ (cos5x+ isin5x) = (cosx + isinx)⁵ = ... Prawą stronę rozpisz z dwumianu Newtona

karo: może zadam teraz głupie pytanie i wyjde na głąba, ale przy liczbach zespolonych istnieje taka zależność, że (cosx + isinx)ⁿ = (cos nx + isin nx) ?

ICSP: Przecież to jest wzór de Moivre

karo: no to tak jak mówiłem z rana mam dziury w głowie, zginęło mi |z| i ześwirowałem ale coś mi średnio idzie to rozpisywanie: (cosx + isinx)⁵ = cos⁵x + 5cos⁴x isinx + 10cos³x i²sin²x + 10cos²x i³sin³x + 5cosx i⁴sin⁴x + i⁵sin⁵x dobrze rozpisałem to ze wzoru newtona? bo teraz jak zacząłem wyrzucać i z tego to mi nie wyszła ta tożsamość, może jakiś błąd obliczeniowy

karo: ale jeszcze czegoś chyba nie rozumiem, dlaczego podstawiam za z = (cosx +isinx) i podnoszę to do 5 potęgi, skoro po lewej stronie wyrażenia mam cos5x a nie cos5x + isin5x. Co się dzieje z isin5x?

ICSP: Dwie liczby zespolone będą równe gdy ich części rzeczywiste oraz urojone będą równe cos5x jest częścią rzeczywistą sin5x jest częścią urojoną

ICSP: (cosx + isinx)⁵ = cos⁵x + i5cos⁴xsinx − 10cos³xsin²x − i * 10cos²xsin³x + 5cosxsin⁴x + i⁵sin⁵x = = (cos⁵x − 10cos³xsin²x + 5cosx sin⁴x) + i(5cos⁴xsinx − 10cos²xsin³x + sin⁵x) Czyli mamy : cos5x + isin5x = (cos⁵x − 10cos³xsin²x + 5cosx sin⁴x) + i(5cos⁴xsinx − 10cos²xsin³x + sin⁵x)

karo: czyli uzyskuję coś takiego? cos5x = cos⁵x − 10cos³x sin²x + 5cosx sin⁴x sin5x = 5cosx sinx − 10cos²xsin³x + sin5x

ICSP: sin5x jest źle zapisany ale to pewnie tylko dwie literówki

karo: no tak, zgubiłem potęgę w jednym miejscu. i nas tak naprawdę teraz interesuje tylko pierwsze równanie, prawda? musimy tak rozpisać tą prawą stronę żeby uzyskać to co stoi pierwotnie w tożsamości?

ICSP:

karo: ok dzięki wielkie, teraz trochę pokombinuję, jakby mi nie wychodziło to jeszcze napiszę pozdrawiam!

karo: ok, rozpisałem z jedynki trygonometrycznej i wyszło. jeszcze raz wielkie dzięki!