pierwiastki zespolone tak_jest: Rozwiązać równanie i zbiór rozwiązań zaznaczyć na płaszczyźnie: (2z−i)³=(1+i)⁶ Mógłby ktoś pomóc?

Krzysiek: 2z−i=³√(1+i)⁶ w=2z−i

	2kπ		2kπ
wk=(1+i)2(cos		+isin		) , k=0,1,2
	3		3

Wstawiasz 'k' i otrzymujesz kolejne rozwiązanie, potem wracasz do podstawienia i wyliczasz 'z'

tak_jest: czyli w₀=(1+i)²(cos ^2*0*pi₃+isin ^2*0*pi₃) = 2i ( 1 + 0) = 2i w₁=(1+i)²(cos ^2*1*pi₃+isin ^2*1*pi₃) = (1+i)²(cos ^2*pi₃+isin ^2*pi₃) = 2i * ( ⁻¹₂ + ^√3₂) w₂=(1+i)²(cos ^2*2*pi₃+isin ^2*2*pi₃) = (1+i)²(cos ^4*pi₃+isin ^4*pi₃) = 2i * ( ⁻¹₂ + ^√3₂) <− to samo co wyżej mi wyszło, błąd? wracam do podstawienia czyli rozwiązania w₀...w₂ podstawiam do ?

Krzysiek: 2z₀−1=w₀ 2z₁−i=w₁ 2z₂−i=w₂ w₂ musi wyjść różne od w₀,w₁ więc jest błąd

tak_jest: mógłbyś mi rozpisać to całe zadanie? bo już się w tym gubię :X 2z₀−1=w0 2z₀−1=2i 2z₀=2i+1 /2 z₀=i+1/2 i tak dalej? tylko nie wiem gdzie zrobiłem błąd przy liczenilu w1 i w2

tak_jest: w1=(1+i)2(cos u {2*1*pi}{3}+isin ^2*1*pi₃) = (1+i)2(cos ^2*pi₃+isin ^2*pi₃) = 2i*(^√3₂ −ⁱ₂) korzystając ze wzorów redukcyjnych pi − 2/3pi = pi/3 w2 takie jak wyżej?

Krzysiek: w₁=2i(−1/2+√3/2i) w₂=2i(−1/2−√3/2i) w₀=2i czyli: 2z₀−i=2i 2z₀=3i z₀=3/2i

Mila: II sposób (2z−i)³=−8i w=2z−i w=³√−8i |−8i|=8

	3π
φ=
	2

	3π   +2kπ 2		3π   +2kπ 2
wk=3√8*(cos		+isin		), k=0,1,2
	3		3

	π		π
w0=2*(cos		+isin		)=2*i
	2		2

	3π   +2π 2		3π   +2π 2		7π		7π
w1=2*(		+isin		)=2*(cos		+isin		)
	3		3		6		6

	√3		1
w1=2*(−		−		i)=−√3−i
	2		2

	3π   +4π 2		3π   +4π 2		11π		11π
w2=2*(cos		+isin		)=2*(cos		+isin		)
	3		3		6		6

	√3		1
w2=2*(		−		i)=√3−i
	2		2

	3i
2z0−i=2i⇔z0=
	2

	−√3
2z1−i=−√3−i⇔z1=
	2

	√3
2z2−i=√3−i⇔z2=
	2

III (1+i)⁶=((1+i)²)³=2i³ (2z−i)³=(2i)³ (2z−i)³−(2i)³=0 (2z−i−2i)*[(2z−i)²+(2z−i)*2i+(2i)²]=0 2z=3i lub (4z²−4zi+i²+4zi−2i²+4i²)=0

	3i
z=		lub 4z2=3
	2

	3i		√3		√3
z=		lub z=		lub z=−
	2		2		2

Mila: III Brak tam nawiasu (1+i)⁶=((1+i)²)³=(2i)³

Krzysiek: Nie bardzo widzę sens II sposobu, skoro znamy jedno rozwiązanie, po co je znajdować i szukać argumentu

tak_jest: Wielkie dzięki!