Wykaż, że jeśli dwie dowolne liczby Madzix15: Wykaż, że jeśli dwie dowolne liczy rzeczywiste a i b spełniają nierówność ab ≤ −3, to a² + b² ≥ 6

Piotr 10: ab ≤ −3 *2 2ab + 6 ≤ 0 a²+b² ≥ 6 (a+b)² − 2ab > 6 (a+b)² > 6+2ab Wiemy, że 6+2ab ≤ 0 (a+b)² ≥ 0 Wykonując ciąg równoważnych przekształceń doszedłem do wniosku, że nierówność końcowa jest prawdziwa, a więc nierówność wyjściowa też musi być spełniona

PW: (a+b)² ≥ 0 − jest to zdanie prawdziwe dla wszystkich a, b ∊ R a²+2ab+b² ≥ 0 (1) a²+b² ≥ −2ab Z założenia ab ≤ −3, to znaczy −ab ≥ 3 (2) −2ab ≥ 6. Zastosowanie (2) w nierówności )1) kończy dowód.

Piotr 10: Tam wszędzie powinno być ''≥ v ≤'' . Jak zrozumiesz to co napisałem to będziesz wiedzieć o co chodzi.

Piotr 10: PW mój dowód jest w porządku ?

Madzix15: Piotr a czemu (a+b)² − 2ab ?

Piotr 10: (a+b)²=a²+2ab+b²

Madzix15: aa no tak dziękuję

PW: Myślimy tak samo. Jeden drobiazg bym poprawił. Mamy tam "przekształcenia równoważne przy założeniu ab≤−3". Jest to trochę ryzykowna konstrukcja logiczna. Zdając egzamin przepisałbym Twój dowód "od tyłu" i nie mówił o równoważności, jedynie o wynikaniu ((ab ≤ −3 ∧ a+b)² ≥ 0) ⇒ a²+b² ≥ 6 − wtedy naprawdę nikt ię nie czepi − z założenia i zdania prawdziwego wynika teza.

Piotr 10: Ok dzięki