ciągi joj: Stosując zasadę indukcji wykaż ,że dla każdej liczby naturalnej dodatniej prawdziwe są wzory : a) ¹_2*5+¹_5*8+¹_8*11+...+¹_{(3n−1)(3n+2)}= ⁿ_2(3n+2) b) 1²+2²+3²+...+n²= ^n(n+1)(2n+1)₆

Janek191: b)

	n*( n + 1)*( 2n + 1)
12 + 22 + 32 + ... + n2 =		( *** ) T(n)
	6

Dowód: 1^o Sprawdzam prawdziwość wzoru dla n = 1

	1*2*3
12 = 1 =		= 1
	6

2^o Zakładam prawdziwość wzoru dla liczby naturalnej n.

	n*( n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + ... + n2 =
	6

Do obu stron równości dodajemy ( n + 1)² Mamy

	n*( n +1)*( 2n + 1)
12 + 22 + 32 + ... + n2 + ( n + 1)2 =		+ ( n + 1)2 =
	6

	n + 1		n + 1
=		*[ n*(2n + 1) + 6*( n + 1)] =		*[ 2 n2 + 7n + 6 ] =
	6		6

	n + 1		( n + 1) *[ ( n + 1) + 1]*[ 2*( n +1) + 1]
=		* ( n + 2)*( 2n + 3) =
	6		6

Dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja T( n ) ⇒ T( n + 1). Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór ( *** ) jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n., ckd.

joj: dziękuję