Zbadaj monotoniczność
Error: Korzystajac z odpowiedniej definicji, sprawdzic, czy funkcja jest róznowartosciowa
f(x)=x2x+1
f(x)= (x2)/(x+1) ( nie ogarniam tego wpisywania)
25 lis 20:56
Garth:
Definicja iniektywnosci [X to dziedzina]:
∀x∊X: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
25 lis 20:58
Garth:
A o co chodzi z ta monotonicznoscia w tytule? Badamy monotinicznosc, roznowartosciowosc, czy
obie wlasnosci w koncu?
25 lis 20:59
Error: Przepraszam troche namieszałem tylko monotoniczość
25 lis 21:19
Error: f(x)= (x2)/(x+1) A=<0,+ nieskonczonosci)
Zbadac monotonicznosc funkcji f w zbiorze A (korzystajac z odpowiedniej definicji)
25 lis 21:26
Panko: 1. Ma być ∀ x1, x2∊ R−{−1} x12/(x1+1) = x22/(x2+1) ⇒ x1 =x2
weźmy i przekształćmy równość warości funkcji x12/(x1+1) = x22/(x2+1)
x12(x2+1) = x22(x1+1)
x12x2 +x12 = x22x1 +x22
x1x2(x1−x2) + (x1−x2)(x1 + x2) =0
(x1−x2)(x1 + x1x2 + x2) =0⇔ x1 = x2 ⋁ x1 + x1x2 + x2 =0
widać kiedy się psuje następnik ( ma być wyłącznie x1 = x2 ) ale jest
też gdy x1 + x1x2 + x2=0 czyli nie jest w R−{−1} r óżn owartościowa.
2. TEraz można już prościej : weźmy x1=1, x2= −1/2 ( spełniają x1 + x1x2
+ x2=0)
wtedy x2≠x1 ⇒f( x1)≠f(x2) jest fałszywa bo f(1)=f(−1/2)
25 lis 21:36
Panko: Postulujemy, że w A=<0,∞) jest rosnąca.
∀x∊A : x2> x1 ⇒ f(x2) > f(x1)
f(x2) > f(x1) to (x2−x1)(x1 +x1x2+x2) >0
x1 +x1x2 +x2 >0 bo x2−x1 >0 z założenia
( x1+1)(x2+1) >1 a to jest prawdą bo oba
składniki w nawiasach są co najmniej równe jeden i ich iloczyn też
Stąd w zbiorze A ta funkcja jest ściśle monotoniczna : rosnąca
25 lis 23:01
PW: No widzisz, jak namieszałeś
Errorze nie podając od razu całej treści zadania.
Zadanie 2.
jest różnowartościowa. Przypuśćmy, że
f(x
1) = f(x
2),
czyli
wówczas
| | x12(x2+1) − x22(x1+1) | |
|
| = 0, |
| | (x1+1)(x2+1) | |
skąd (licznik musi być zerem)
x
12x
2 + x
12 − x
22x
1 − x
22 = 0
x
1x
2(x
1−x
2) + (x
1−x
2)(x
1+x
2) = 0
(x
1−x
2)(x
1x
2+x
1+x
2) = 0
x
1−x
2 = 0 ⋁ x
1x
2+x
1+x
2 = 0
a to oznacza, że x
1=x
2 (wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie albo równe zeru − wtedy i
tylko wtedy, gdy x
1=x
2=0).
Pokazaliśmy, że z równości f(x
1) = f(x
2) wynika x
1=x
2, co oznacza, że f jest
róznowartościowa.
25 lis 23:27
PW: A licho weźmie, w końcu udowodniłem róźnowartościowość zamiast monotoniczności, to się da
poprawić, ale szkoda czasu.
25 lis 23:30
Pawel: Dzieki wielkie za pomoc bo różnowartosciowosci tez nie umialem ale teraz ogarniam dzieki
wielkie i przepraszam ze namieszalem
26 lis 09:10