proszę o rozwiązanie maria: Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których kwadrat różnicy różnych rozwiązań równania 0,5xkwadrat + ( p + 1 ) x + 2 = 0 jest nie większy od 84 ? zad 2 dla jakich wartości parametru p równanie x kwadrat + 5px + 20p − 8 = 0 ma różne rozwiązania x1, x2, takie że x1 do kwadratu + x2 do kwadratu = 400

Janek191: 1) 0,5 x² + ( p+1) x + 2 = 0 Aby równanie miało 2 różne rozwiązania, musi być Δ > 0 Mamy Δ = ( p+1)² − 4*0,5*2 = p² +2p + 1 − 4 = p² + 2p − 3 Ma być p² + 2p − 3 > 0 Δ₁ = 2² − 4*1*(−3) = 4 + 12 = 16 √Δ₁ = 4

	− 2 − 4		− 2 + 4
p1 =		= − 3 p2 =		= 1
	2		2

zatem p ∊( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Obliczam pierwiastki równania:

	− p − 1 − √p2 + 2p − 3
x1 =		= − p − 1 − √p2 + 2p − 3
	2*0,5

x₂ = − p − 1 +√ p² +2p − 3 więc x₁ − x₂ = − 2 √ p² + 2p − 3 i x₂ − x₁ = 2√ p² + 2p − 3 zatem ( x₁ − x₂)² = ( x₂ − x₁)² = 4*( p² +2p − 3) = 4 p² + 8p − 12 Ma być 4p² + 8p − 12 ≤ 84 4p² + 8p − 96 ≤ 0 / : 4 p² + 2p − 24 ≤ 0 Δ₂ = 2² − 4*1*(−24) = 4 + 96 = 100 √Δ₂ = 10

	− 2 − 10		− 2 + 10
p3 =		= − 6 p4 =		= 4
	2		2

więc p ∊ < − 6; 4 > −−−−−−−−−−− ale równocześnie p ∊ ( − ∞ ; − 3) ∪ ( 1 ; + ∞ ) więc Odp. p ∊ < − 6 ; − 3 ) ∪ ( 1; 4 > =====================

Janek191: 2) x² + 5p x + 20p − 8 = 0 Δ =(5p)² − 4*1*(20p − 8) = 25 p² − 80 p + 32 Δ musi być > 0 , aby były 2 różne rozwiązania : 25 p² − 80 p + 32 > 0 Δ₁ = ( −80)² − 4*25*32 = 6 400 − 3200 = 3 200 = 16*2*100 √Δ₁ = 40√2

	80 − 40√2
p1 =		= 1,6 − 0,8√2
	50

	80 + 40√2
p2 =		= 1,6 + 0,8√2
	50

więc p ∊ ( − ∞ ; 1,6 − 0,8√2 ) ∪ ( 1,6 + 0,8√2 ; + ∞ ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1,6 − 0,8√2 ≈ 0,47 1,6 + 0,8√2 = 2,73 ( x₁ + x₂)² = x₁² + 2 x₁ x₂ + x₂² ⇒ x₁² + x₂² = ( x₁ + x₂)² − 2x₁ x₂ ale z wzorów Viete'a mamy

	b		c
x1 + x2 = −		= − 5p x1*x2 =		= 20p −8
	a		a

zatem x₁² + x₂² = ( − 5p)² − 2* ( 20 p − 8) = 25 p² − 40 p + 16 Ma być 25 p² − 40 p + 16 = 400 25 p² − 40 p − 384 = 0 Δ₂ = (−40)² − 4*25*( −384) = 1 600 + 38 400 = 40 000 √Δ₂ = 200

	40 − 200		40 + 200
p3 =		= − 3,2 p3 =		= 4,8
	50		50

Odp. p = − 3,2 lub p = 4,8 =======================

pigor: Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których kwadrat różnicy różnych rozwiązań równania 0,5x²+(p+1) x+2= 0 jest nie większy od 84 ? −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., a do mojej szuflady 0,5x²+(p+1)x+2= 0 / *2 ⇔ x²+2(p+1)+4= 0 , więc warunki zadania spełnia układ nierówności : Δ= 4(p+1)²−16 >0 i (x₁−x₂)² ≤ 84 ⇔ (p−1)² >4 i (x₁+x₂)²−4x₁x₂ ≤ 84 ⇔ ⇔ |p−1| >2 i 4(p+1)²−4*4 ≤ 84 ⇔ |p−1| >2 i (p+1)²−4 ≤ 21 ⇔ ⇔ |p−1| >2 i |p+1| ≤ 5 ⇔ (p+1<−2 lub p+1 >2) i −5 ≤ p+1 ≤ 5 ⇔ ⇔ (p< −3 lub p >1) i −6≤ p≤ 4 ⇔ −6≤ p< −3 lub 1< p≤ 4 ⇔ p∊[−6;−3)U(1;4] . ...

pigor: ..., no i jeszcze to do ... Dla jakich wartości parametru p równanie x ²+5px+20p−8= 0 ma różne rozwiązania x₁, x₂ takie, że x₁²+x₂²= 400 . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− z warunków zadania: Δ= 25p²−4(20p−8) >0 i (x₁+x₂)²−2x₁x₂= 400 ⇔ ⇔ 25p²−4(20p−8) >0 i 25p²−2(20p−8)= 400 ⇔ ... ⇔ 400−2(20p−8) >0 i 25p²−40p+16= 400 ⇔ 200−20p+8 >0 i (5p−4)²= 20² ⇔ ⇔ 100−10p+4 >0 i |5p−4|= 20 ⇔ 10p< 104 i (5p−4= −20 lub 5p−4= 20) ⇔ ⇔ p< 10,4 i (5p= −16 lub 5p= 24) ⇔ p< 10,4 i (10p= −32 lub 10p= 48) ⇔ ⇔ p< 10,4 i (p= −3,2 lub p= 4,8) ⇔ p∊{−3.2 ; 4.8} . ...