Proste równanie, głupie pytanie xyz: Hejka!Mam wykazać, że jeśli a²+b²≤2, to a+b≤2. Rozwiązywałem to zadanko tak: a+b≤ 2//*ab a²b+ab²≤2ab a(a+b)+b(a+b)≤2 (a+b)(a+b)≤2 (a+b)²≤2 ...i teraz nie jestem pewny, czy po prostu przenieść 2 na drugą stronę ze zmianą znaku? To wtedy wyjdzie coś takiego a²+2ab+b²−2≤0 Czy to jest poprawne? Jeśli tak to nie za bardzo wiem dlaczego i proszę o krótkie wyjaśnienie

Bizon: ... próbuj inaczej − nierówności nie możesz mnożyć przez wyrażenie którego znaku nie znasz !

xyz: a+b≤2 a+b−2≤0 Więc coś takiego wystarczy? z założenia a+b jest mniejsze lub równe 2, więc suma tych liczb − 2 będzie równe 0 lub mniejsze od niego. Czy tak?

Bizon: nic tym nie udowadniasz −:(

xyz: ...ale odnosząc się do Twojej uwagi, czy nigdy nie mogę przemnożyć wyrażenia przez a lub b? np. gdy mam

a		b
	+		+ 2 ≥ 4
b		a

to mnożę to najpierw przez a, później przez b i wychodzi mi a²+b²+2ab≥4ab , co po przekształceniu da mi (a−b)²≥0

Bizon: nierówność możesz mnożyć przez liczbę dodatnią bez zmiany znaku a przez ujemną zmieniając znak nierówności. Jeśli nie znasz znaku liczby przez którą chcesz mnożyć to nici ...

xyz: Mógłbyś mi pokazać jak zrobić oba przykłady? Jestem trochę zbity z tropu, a dzisiaj zrobiłem tak z 20 podobnych(i wszystko wychodziło), więc pewnie będę miał dużo do poprawy

Ven: Musisz pomnożyć przez ab. O tak: ab * ^a_b + ab* ^b_a + 2ab ≥ 4ab a² + b² + 2ab ≥ 4ab a² + b² +2ab − 4ab ≥0 (a−b)²≥0 I teraz udowodniłaś, bo kwadrat każdego wyrażenia jest nieujemny

xyz: Ven i właśnie tak zrobiłem, ale jeśli jest tak jak mówi Bizon to takie rozwiązanie jest niepoprawne.

Eta: zad.1/ jeżeli a²+b²≤2 to a+b≤2 zauważ,że (a+b)² ≤ 2a²+2b² =2(a²+b²) ≤4 ⇒ (a+b)²≤4 ⇒ a+b≤2 c.n.u

pigor: ..., lub a²+b² ≤ 2 ⇒ √a²+b² ≤ √2 , a z nierówności między średnimi a ≤ a.k. ¹₂(a+b) ≤ √¹₂(a²+b²) /* 2 ⇔ ⇔ a+b ≤ 2 √¹₂(a²+b²= √2(a²+b² =√2* √a²+b² ≤ √2*√2 =2 c.n.w.

Eta:

xyz: Dzięki Potrzebuję jeszcze tylko potwierdzenia, czy dobrze rozwiązałem kolejny przykład.

a		b
	+		≥2
b		a

po przerzuceniu 2 na lewą stronę

	a		b
(√		−√		)2≥0
	b		a

Eta: 1 sposób a>0 i b>0 z nierówności miedzy średnimi am − gm

a   b   + b   a
	≥√ab*ba= 1 /*2
2

i masz tezę ......

Eta: 2sposób , a>0 i b>0 jeżeli taka nierówność zachodzi to przekształcając równoważnie:

a		b
	+		≥2 /*ab >0
b		a

a²+b²≥2ab a²−2ab+b²≥0 (a−b)²≥0 co jest prawdą

	a		b
zatem taka nierówność		+		≥2 zachodzi
	b		a

Eta: 3sposób , a>0 i b>0 wiemy,że (a−b)²≥0 to a²+b²≥2ab / : (ab>0)

	a		b
		+		≥2
	b		a

c.n.u

xyz: Czy w takim razie moje rozwiązanie jest złe? Czy możemy sobie w zadanku zakładać, że a>0 i b>0, jeśli nie mamy tego w treści/informacjach? Bo jeśli nie, to chyba nie wolno mnożyć /*ab −−−−− A zapomniałem dodać, ze właśnie dla tego przykładu a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi

Eta: ............ czytaj porządnie treść zadań!

Eta: post 20:30 dobrze tylko brak a>0 i b>0

xyz: Jak to sie mówi − głupi ma zawsze szczęście, przeliczyłem tak większość przykładów w nieświadomości, że mogę robić je źle, więc cieszę się, że tak wyszło, a dodatkowo dowiedziałem się czegoś nowego ...wracając do mojego pierwszego postu mam a2+2ab+b2−2≤0 i co z tym zrobić?