rozwiązywanie równań Ven: Rozwiąż w liczbach naturalnych równania: a) ¹_x+¹_y=¹₂ Sprowadziłam do wspólnego mianownika i otrzymałam: ^y+x_xy=¹₂ Wg. mnie nie ma takich liczb, które by to spełniały. b) ¹_x²+¹_xy+¹_y² = 1 Po sprowadzeniu do wspól. mianownika otrzymałam: ³_xy=1 x=1 x=3 y=3 y=1 c) 2x³+5x²+3x+y=11 d) y+2x²=17 Czy dobrze zrobiłam podpunkty a i b. Jak zrobić kolejne dwa? Proszę o najprostszą metodę dla I LO.

ICSP:

1		1
	+		=
4		4

ICSP: c) Zauważ że dla x ≥ 2 zachodzi: 2x³ + 5x² + 3x > 11 Zatem jedyne możliwe rozwiązanie w N to x = 1. Teraz wystarczy znaleźć odpowiednie y d) y + 2x² = 17 2x² jest podzielne przez 2 − jest liczbą parzystą. Po prawej stronie mamy 17 − liczbę nieparzystą. Zatem y musi być liczbą nieparzystą. Wstawiaj kolejno nieparzyste y, aż dojdziesz do 15

Ven: Dziękuje

Ven: Jeszcze mam problem z takimi równaniami. Tyle, że trzeba je rozwiązać w zb. liczb całkowitych xy=3x+5y+7 Po przekształceniu otrzymałam coś takiego: x=^5y+7_y−3 y nie równa się 3 I teraz nie wiem za bardzo jak szukać x i y, bo we wcześniejszym przykładzie miałam liczby różniące się o 3. A teraz jak można zdefiniować liczbę w liczniku i mianowniku ? (Niby znalazłam te x i y, ale zapis mi się kompletnie nie podoba, bo to wygląda na takie zgadywanie, więc proszę o pomoc. + jeszcze x²−3y=17 x²−3y= (x−√3y) *(x+√3y)=17 Tutaj też zaczęłam, ale nie wiem co dalej...

Ven: up

zombi: Ja bym robił tak: 3x+5y+7=xy 3x−xy+5y+7=0 (x−5)(3−y)+22=0 (x−5)(3−y)=−22 j

zombi: a) podobnie

1		1		1
	+		=
x		y		2

x+y		1
	=
xy		2

2x+2y−xy=0 (x−2)(2−y) + 4= 0 (x−2)(2−y)=−4 i wio

Saizou : albo tak jak chce Ven

	5y+7		5y−15+22		5(y−3)		22		22
x=		=		=		+		=5+
	y−3		y−3		y−3		y−3		y−3

i teraz y−3 musi być dzielnikiem liczby 22

zombi:

Ven: Dziękuje A to ostatnie? x²−3y=17?

Panko: 1 Zauważ, że jeżeli y∊N to 3y+17≡2 (mod 3) znaczy , że daje z dzielenia przez 3 resztę 2 2. Niech x=3k+r, gdzie r∊{0,1,2} wtedy x²=3(3k²+kr) +r², gdzie r²≡0 (mod 3) lub r²≡1 (mod 3) znaczy się x² nie daje z dzielenia przez 3 reszty 2 3. Równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.

Ven: Wielkie dzięki. Tylko jak to udowodnić w inny sposób, bo tego jeszcze nie mieliśmy w szkole

zombi: x²=3y+17=3(y+5) + 2 = 3p+2, oznaczylem p jakos y+5 stąd wynika, że x² daje reszty 2 przy dzieleniu przez 3, stąd lecimy już jak panko powiedział, pokażemy, że nie ma x, który do ² da reszty 2. x=3k /² ⇒ 3(3k²) − r=0 x=3k+1 /² ⇒ 3(3k²+2k) + 1 − r=1 x=3k+2 /² ⇒ 3(3k²+4k+1) +1 − r=1 nie ma takiego x całkowitego. bez znajomości kongruencji, mogłeś/aś nie wiedzieć co znaczy 3y+17 = 2(mod 3)

Ven: Wielkie dzięki

Panko: 1. Można się obejść bez tej relacji przystawania liczb ( modulo) 3y+17=3(y+5)+2 czyli reszty z dzielenia przez 3 jest 2 2. Każda liczba naturalna( nie tylko) przy dzieleniu przez 3 daje reszty r = 0, 1 , 2. 3. r²= 0, 1, 4 czyli 0*3 +0 , 0*3 +1, 1*3 +1 czyli reszty możliwe to 0,1 4. Interweniuje tu twierdzenie ( o dzieleniu z resztą) Dla każdej pary liczb całkowitych a , b ( b≠0) , istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych k, r, taka, że a = k*b+r i 0<=r<I b I inaczej : dzielna = dzielnik*iloraz + reszta