Trygonometria Belfegor: cos⁴x+2*cos²x−1≤0 Dotarłem do postaci: cos²x∊<−1;−1+√2> i wiem że to jest dobrze bo sprawdzałem na wolframalpha. Co dalej?

PW: cos²α∊[0,−1+√2) (z natury rzeczy kwadrat jest nieujemny). Rozwiązując pomocniczą nierówność t²+2t−1 ≤ 0 należało założyć t∊[0,1], bo takie wartości może przyjmować cos²α.

Nienor: cos²x≥−1 ∧ cos²x≤−1+√2 Z tym zapisem masz problem cos²x≥−1 dla x∊ℛ (cosx−(√2−1))(cosx+(√2−1))≤0

Belfegor: No dobrze. To jak już mam tą postać (cosx−(√2−1))(cosx+(√2−1))≤0 to co dalej? Przecież nie policzę dla jakiego x cos osiąga wartość √2−1 i −(√2−1)

PW: Zgubiliście pierwiastek: √√2−1

Nienor: Czemu? cosx=√√2−1 x=arccos(√2−1) cosx=√−(√2−1) − odpada, bo wychodzi z tego zespolona niespodzianka x∊[0;arccos(√√2−1)] Jeżeli nie znasz funkcji cyklometrycznych, to znaczy, że wbrew wszelkim twierdzeniom, raczej się pomyliłeś (choćby przy przepisywaniu zadania)

Belfegor: Akurat funkcje cyklometryczne miałem

Belfegor: Dziękuję wszystkim za pomoc i mam nadzieję, że albo się pomyliłem albo doktor się pomyliła.

PW: Nienor, nie mówiłem, że zgubiliście rozwiązanie, tylko zgubiliście pierwiastek − pisaliscie √2−1 zamiast √√2−1 (w ostatnim wejściu już piszesz dobrze). No to jeszcze dla Belfegora zagadka: Udowodnij, że prawy kraniec przedziału można zapisać jako arctg⁴√2.

Belfegor: <głową w biurko> Nie mam pojęcia jak to ruszyć

PW: I jeszcze na poważnie: nierówność jest rozwiązana źle. Doszliśmy do wniosku, że cos²x ≤ √2−1. Rozwiązaniem takiej nierówności są (1) −√√2 −1 ≤ cosx ≤ √√2 −1 − przecież to zwykła nierówność kwadratowa typu x²≤9. Rozwiązaniem nierówności (1) są natomiast takie x, które .... no właśnie, narysować wykres funkcji cosinus, zobaczyć te dwa przedziały i zastosować okresowość.

PW: cos²x=√2−1 sin²x=1−cos²x=2−√2

	sin2x		2−√2
tg2x =		=		= ... = √2
	cos2x		√2−1

tg²x=√2 tgx=⁴√2 lub tx=−⁴√2. Jeżeli szukamy liczby dodatniej, to tgx=⁴√2 czyli x=arctg⁴√2 Nie wal głową w biurko, bo mogą Ci powiedzieć: − Szkoda biurka. Mam nadzieję, że się nie obrazisz, łapię się na tym, że moje poczucie humoru bywa źle odbierane.

Belfegor: Spoko nic się nie stało Dzięki za rozwiązanie. A co do wykresu to mogę tylko oszacować rozwiązanie, nie?

PW:

	π
Tak, kraniec przedziału, czyli arctg4√2 jest liczbą "ciuteńkę większą" od		, gdyż
	4

	π
tg		= 1, zaś 4√2>1,18, mamy więc
	4

	π
		= arctg1 < arctg 1,18 < arctg 4√2
	4

(bo arctg jest rosnąca). Biorąc wersję arccos√√2−1 oszacujemy:

	√2
√√2−1 <0,65 < 0,70 <		,
	2

a więc

	√2		π
arccos√√2−1 > arccos		=
	2		4

(tym razem korzystamy z faktu, że arccos jest malejąca, ale dochodzimy do tego samego wniosku −

	π
kraniec przedziału jest liczbą trochę większą od		.
	4

To wystarczy do sporządzenia sensownego rysunku. Dokładniejsze oszacowania z tablic albo kalkulatorem obliczającym wartości funkcji cyklometrycznych.