Funkcja-parametr bezendu: Zaczynam od prostych zadań, proszę żeby ktoś sprawdził założenia i wyniki Nie chcę gotowych rozwiązań 1.Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie x²+mx+m=0 ma jedno rozwiązanie. Δ=0 i m=0 m²−4m=0 m(m−4)=0 m=0 lub m=4 2.Wyznacz te wartości parametru m ,dla których równanie (m−2)x² + 6x+1=0 ma jedno rozwiązanie. Δ=0 i m−2=0 m=2 36−4(m−2)=0 36−4m+8=0 −4m=−44 m=11 m=11 lub m=2

Piotr 10: bezendu po co w pierwszym zadaniu piszesz warunek m=0 ?

bezendu: 3. Znajdź zbiór tych wartości parametru k , dla których dane równanie ma dwa różne pierwiastki x² + (k−3)x−1= 0 . (tutaj k−3 może być równe 0 bo dostanę x²−1 więc będą dwa różne pierwiastki ?) Δ>0 (k−3)³+4>0 k²−6k+9+4>0 k²−6k+13>0 Δ=36−52 Δ=−16 czyli k∊R ?

bezendu: Żeby sprawdzić warunek co będzie jeśli m=0.

Piotr 10: Tego nie sprawdzasz. W pierwszym zadaniu wystarczy warunek Δ=0

bezendu: Ale zobacz np do zadania 2 m−2=0 sprawdzałem tam ?

Piotr 10: Sprawdzasz jedynie warunek ten gdy masz przy potędze x², np (m−5). Gdy przy x² masz 1 to nie sprawdzasz tego warunku, bo to będzie i tak funkcja kwadratowa. A gdy masz przy x² (m−2) sprawdzasz warunek co dzieję sie dla m=2, bo to jest wtedy funkcja liniowa

5-latek: Wedlug mnie rozpatrujesz osobno dla rownania liniowego i osobno dla rownania kwadratowego

Godzio: Jeśli mamy funkcję: f(x) = ax² + bx + c To rozpatrujemy zawsze przypadki: a = 0 i a ≠ 0 Jeżeli w "a" nie ma żadnego parametru to olewamy ten warunek Co do 2, napisałeś m = 2, ale nie napisałeś, że mamy rozwiązanie x = ..., może się okazać, że po wstawieniu m = 2 mamy sprzeczność

bezendu: 4.Dla jakich wartości parametru m równanie mx²−6x−1=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie? No i teraz m=0 mam funkcję liniową ? Δ≥0 i m=0 wtedy liniowa ? 36+4m≥0 4m≥−36 m≥−9 m∊<−9,∞) ?

Piotr 10: W tym 4 zadaniu I przypadek m=0 v II przypadek 1⁰ m≠0 2⁰ Δ≥0

bezendu: Godzio wracam do 2. 2.Wyznacz te wartości parametru m ,dla których równanie (m−2)x²+6x+1=0 ma jedno rozwiązanie jeśli podstawię m=2 to mam 6x+1=0 6x=−1

	1
x=−		?
	6

Godzio: Ok, zawsze wypada wyznaczyć to rozwiązanie, bo a = 0 nie oznacza, że otrzymamy jedno rozwiązanie

bezendu: A spójrz jeszcze na zadanie 4. Wystarczą takie warunki jakie ja zapisałem ?

Godzio: Powinno być tak jak pisze Piotr 10

bezendu: Czyli też dla m=0 wyznaczam to rozwiązanie ?

PW: Dla m=0 równanie liniowe: −6x − 1 = 0 Ma ono na pewno jedno rozwiązanie (nie pytają jakie, tylko "czy ma", na tym koniec myślenia). Dalej zakładamy, że m≠0, czyli równanie jest kwadratowe. Żeby miało co najmniej jedno rozwiazanie, musi być Δ≥0. Rozwiązujemy wiec nierówność 36+4m ≥ 0, m≠0. Złapałeś się, w odpowiedzi [−9,∞) jest liczba zero − odpowiedź jest błędna (jeśli mówimy o funkcji kwadratowej). Dopiero odpowiedź finalna brzmi : m=0 (to z rozważania o funkcji liniowej) lub m∊[−9,0)∪(0,∞) (to z rozważania o funkcji kwadratowej), a zatem m∊{0}∪ m∊[−9,0)∪(0,∞) = [−9,∞). Ktoś, kto policzy tylko Δ≥0 i otrzyma wynik m∊[−9,∞) ma tylko pozornie dobre rozwiązanie (wynik się zgadza, ale sposób myślenia błędny, nie dostanie pełnej liczby punktów).

Godzio: Tak, ZAWSZE Bo np. mx² + mx + 1 = 0 m = 0 −− jedno rozwiązanie nie prawda bo dla m = 0 mamy: 0 + 0 + 1 = 0 ⇒ 1 = 0 czyli sprzeczność

5-latek: Tak

bezendu: 4.Dla jakich wartości parametru m równanie mx²−6x−1=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie? No i teraz m=0 mam funkcję liniową ? 1⁰ m=0 −6x−1=0 6x+1=0 6x=−1

	1
x=−
	6

2⁰ m≠0 Δ≥0 36+4m≥0 4m≥−36 m≥−9 m∊<−9,∞) ? i teraz suma warunku 1⁰ i 2⁰ ?

Godzio: Formalnie: 2^o m ∊ <−9,0) U (0,∞) bo 0 wykluczyliśmy I teraz suma

5-latek: Tak suma warunkow .to napisz jaka bedzie ta suma

bezendu: m∊<−9,∞)

Godzio:

5-latek: zle bo nie wylaczyles 0

5-latek: A nie dobrze masz

bezendu: Dla jakich wartości parametru m równanie (m−1)x²−2mx+m=0 posiada 2 różne rozwiązania? Tu teraz muszę zrobić że m−1≠0 m≠1 i Δ>0 4m²−4(m−1)m>0 4m²−4m²+4m>0 4m>0 m>0 m∊(0,∞)/{1} Teraz dobrze ?

Godzio: Ok, kreseczkę dajemy w drugą stronę " \ "

bezendu: No tak źle wcisnąłem

5-latek: tak

bezendu: Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie x²+mx+m= 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich iloczyn jest mniejszy od 6 Δ>0 i x₁*x₂<6 m²−4m>0 m(m−4)>0 m∊(−∞,0)∪(4,∞) x₁*x₂<6 m<6 m∊(−∞,6) I teraz część wspólna czy suma ?

5-latek: A narysuj te warunki na osi liczbowej i zobacz jakie bedzie rozwiaznie dla tych warunkow .

bezendu: m∊(−∞,0)∪(4,6) ?

5-latek: jesli nie jestes pewienn czy dobrze wyznaczyles to wstaw np do rownania m=−5 i policz

bezendu: akurat m=−5 spełnia warunki zadania

5-latek: czyli przedzial (−oo ,0 ) tez a wez policz np m=7

bezendu: dla m=7 nie spełnia czyli chyba dobrze wyznaczyłem

5-latek: Dobrze wyznaczyles Teraz widzisz jak sie robi jak nie jestes pewny ?

bezendu: Tak, za 2 godziny ciąg dalszy zadań

bezendu: Czyli w zadaniu 4 mogą istnieć dwa warunki to lub to i dlatego suma tych warunków ?

5-latek: A teraz dobrze sie zastanow czy to co wyznaczyles to jest naprawde jest suma tych warnkow czy to jest czesc wspolna . Co bedzie suma tych 3 przedzialow

bezendu: Zadanie 4. Tak jak napisał PW i Godzio suma tych warunków. ?

bezendu: ?

bezendu: Dla jakich m ∈ R równanie x²−mx+m+3=0 ma dwa różne rozwiązania, których suma odwrotności jest mniejsza od 1?

	1		1
Δ>0 i		+		<1
	x1		x2

m²−4(m+3)>0 m²−4m−12>0 Δ_m=64 √Δ_m=8

	4−8
m1=		=−2
	2

	4+8
m2=		=6
	2

Rozwiązując nierówność (m+2)(m−6)>0 mam m∊(−∞,−2)∪(6,∞)

1		1
	+		<1
x1		x2

x1+x2
	<1
x1x2

m
	<1 m≠−3
m+3

m
	−1<0
m+3

m−m−3
	<0
m+3

−3
	<0
m+3

−3(m+3)<0 / (−3) m+3>0 m>−3 m∊(−3,∞) Teraz część wspólna m∊(−3,−2)∪(6,∞) Czy tutaj wszystko się zgadza, założenia, zapis ?

Mila: Tak, zgodnie z tym co napisali PW i Godzio

bezendu: Ale chodzi o zadanie 20:27

bezendu: ?

bezendu: 7. Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie x²+mx+m=0 ma takie dwa różne pierwiastki, że suma ich kwadratów jest mniejsza od 15 Δ>0 i x₁²+x₂²<15 m²−4m>0 m(m−4)>0 m∊(−∞,0)∪(4,∞) x₁²+x₂²<15 (x₁+x₂)²−2x₁x₂<15 m²−2m−15<0 Δ_m=64 √Δ_m=8 m₁=−3 m₂=5 (m+3)(m−5)<0 m∊(−3,5) Cześć wspólna m∊(−3,0)∪(4,5) Ok ?

5-latek: Przedostatnie dobrze masz ostatnie dobrze tez

bezendu: Jesteś pewny w 100% ?

Mila: Jak pisze 5−late, zgadza się.

bezendu: Zapis też, nie chcę tracić na maturze punktów za darmo.

Eta:

bezendu: Witaj Eta !

bezendu: Wyznacz tę wartość parametru k ,dla której suma kwadratów pierwiastków równania x²+2kx+3k²−6k−2=0 jest największa z możliwych I teraz pytane kiedy ten warunek zachodzi ?

bezendu: ?

Eta: Δ≥0 i x₁²+x₂² −−− osiąga maxsimuj x₁²+x₂²= (x₁+x₂)²−2x₁*x₂ = ... wzory Viete^'a

Eta: maxsimum

bezendu: Wzory Viete'a wiem że trzeba zastosować, chodziło raczej tylko o to kiedy jest największa z możliwych

bezendu: A czasami delta Δ>0 ?

Eta: Po zastosowaniu wzorów Viete^'a otrzymasz funkcję kwadratową ze zmienną "m" i masz podać kiedy ta funkcja osiąga wartość największą a to wiesz,że ........ ( w wierzchołku paraboli ramionami zwróconej do dołu!

Piotr 10: Nie. Jeżeli nie ma w zadaniu słowa ''różnych'' lub ''przeciwnych znaków'' Δ≥0. Wiem, że to głupie trochę(w zadaniu jest przecież liczba mnoga ''pierwiastków'', ale tak jest w ocenianiu CKE, tak mi Godzio tłumaczył.

bezendu: Właśnie też myślałem, że Δ>0 możesz mi podać link to tego tłumaczenia ?

bezendu: x²+2kx+3k²−6k−2=0 4k²−4(3k²−6k−2)≥0 4k²−12k²+24k+8≥0 −8k²+24k+8≥0 /−8) k²−3k−1=0 Δ_k=9+4=13 √Δ_k=√13 k₁=U{3−√13{2} k₂=U{3+√13{2} Czy tu się nie pomyliłem ?

Saizou : Piotrze liczbą przeciwną do 0 jest 0, wiec teoretycznie może być jeden pierwiastek

Eta: k²−3k−1 ≤0

bezendu: k∊(−∞,−3+√13{2}>∪<U{−3−√13{2},∞) i teraz tylko wzory viet'a rozwiązać ?

bezendu: Ten przedział źle wyznaczyłem bo k≤0

	−3+√13		−3−√13
k∊<		,		>
	2		2

si ?

Eta: teraz ok

bezendu: Mam teraz te wzory viete'a 4k²−2(3k²−6k−2) jaki tutaj znak ? 4k²−6k²+12k+4 −2k²+12k+4

bezendu: Eta żyjesz ?

Eta: f(k) = −2k²+12k+4 −−− osiąga maksimum

	−b
to kw=		=..........
	2a

bezendu:

	12
kw=		=−3
	−4

i co dalej ? sprawdzam czy k_w mieści się w tym przedziale ?

bezendu:

	−12
kw=		=3 nie zauważyłem
	−4

bezendu: Chyba coś ten przedział mi się nie zgadza

Eta:

	−3−√13		−3+√13
k∊<		,		>
	2		2

k= −3 ∊ do tego przedziału

bezendu: k=3

Eta:

	+3−√13
Masz błąd k1=		.... popraw i będzie ok
	2

bezendu: właśnie tu coś mi się nie zgadzało Dzięki Bogu zawsze Eta czuwa

Eta:

bezendu: Eta masz jeszcze chwilkę ?

Eta: 0,5 chwilki

bezendu: 0,5 Dla jakich wartości parametru m suma pierwiastków równania x²−2m(x−1)−1 = 0 jest równa sumie kwadratów tych pierwiastków? x²−2mx+2m+1=0 Δ>0 x₁²+x₂²=x₁+x₂ ?

Eta: Δ≥0

bezendu: Czemu ≥ ? Suma pierwiastków

Eta: Jeżeli Δ=0 to x₁=x₂ wtedy mogą być 2x₁²= 2x₁ ⇒ x₁(x₁−1)=0 to x₁=0 v x₁= 1 0²= 0 i 1² = 1

bezendu: ?

bezendu: Dziękuję będę za jakieś 13 godzin Dobranoc