Funcja kwadratowa olkaq: Czy mógłbby mi ktoś zrobić takie zadanie (Są to zadania ze sprawdzianu ktory pisalem godzine temu): 1. Liczbe dodatnią a przedstaw w postaci sumy dwoch liczb tak aby suma szesciannaow tych liczb byla najmniejsza. 2. Wyznacz rzeczywiste wartosci parametru m dla ktorych oba rozwiazani a rownania mx² − (m² + m +1)x m+ 1 = 0 są wieksze od 1. 3. Oblicz dla jakich wartosci paramatru m wartosc funkcji f(x) = (2m + 1)x² + (m−1)x + 3m są dla kazdego rzeczywistego x mniejsze od odpowiednich wartosci funkcji g(x) = (1 − m)x+3

5-latek: No to napisz jak rozwiazales .OK?

Janek191: z.1 a > 0 a = x + y ⇒ y = a − x więc x³ + y³ = ( x + y)*(x² − x*y + y²) = a*( x² − x*( a − x) + ( a − x)²) x³ + y³ = a*( x² − a x + x² + a² −2a x + x²) = a*( 3 x² − 3a x + a²) więc S( x) = a*( 3 x² − 3a x + a²) Trzeba sprawdzić kiedy f(x) = 3 x² − 3a x + a²) przyjmuje najmniejszą wartość . 3 > 0 − ramiona paraboli skierowane są ku górze, więc f przyjmuje najmniejszą

	3a
wartość dla x = p =		= 0,5 a
	6

zatem x = 0,5 a i y = 0,5 a Odp. a = 0,5 a + 0,5 a ===================

PW:

	a
x oraz a−x, x∊[0,		]
	2

f(x) = x³+(a−x)³ = x³ + a³ − 3a²x + 3ax² − x³ = 3ax²−3a²x + a³ Funkcja kwadratowa (1) f(x) = 3ax²−3a²x + a³ = a(3x²−3ax+a²)

	3a		a
rozpatrywana na całej osi osiąga minimum dla x =		=		.
	2•3		2

	a		a
Liczba		należy do dziedziny [0,		], na której badamy sumę sześcianów, a więc suma
	2		2

	a
ta osiąga minimum dla x =		.
	2

Odpowiedź. Suma sześcianów jest najmniejsza, gdy liczbę a podzielimy na dwa równe składniki.

	a
Inaczej mówiąc: jeżeli a = u+v, to u3+v3 osiąga minimum dla u=v=
	2

pigor: ..., no to np. tak : 1) x+y=a i f(x)= x³+y³ ⇒ f(x)= (x+y)(x²−xy+y²)= a[(x+y)²−3xy)]= = a[a²−3x(a−x)] ⇒ x< a i f(x)= a[a²+3x(x−a)] → f_min. ⇔ ⇔ g(x)=3x(x−a) → g_min. ⇔ x=¹₂(0+a)= ¹₂a , a wtedy y=a−x= a−¹₂a= ¹₂a=x , a więc −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− odp. suma x+y= ¹₂a+¹₂a= a − szukana suma to suma dwóch jednakowych składników ; wtedy właśnie suma sześcianów x³+y³= a[a²+3*¹₂a*(−¹₂a)]= a[a²−³₄a²]= ¹₄a³= f_min.

PW: Janek191 znowu mnie wyprzedził, a ja nieświadomy spokojnie sobie dłubałem rozwiązanie i piłem herbatę. Następnym razem zacznę od ostatniego zadania, ale na razie muszę odejść od komputera.

PW: olkaq No to masz już na 300% zadanie nr 1.

pigor: ..., jaki znak masz w zad.2) mx² − (m² + m +1)x tu m+ 1 = 0 .

pigor: ..., a więc znak +, czy −

5-latek: pigor a czy chociaz sie raz odezwal ? Wiec ?.....

pigor: .., no właśnie, szkoda gadać ; myślałem, że nie wie o co chodzi, to mu (jej) przybliżyłem wybór .

pigor: 3. Oblicz dla jakich wartości parametru m wartości funkcji f(x)=(2m+1)x²+(m−1)x+3m są dla każdego rzeczywistego x mniejsze od odpowiednich wartości funkcji g(x)=(1−m)x+3. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., otóż, warunki zadania spełnia np, takie "coś" (a ty ... domyślaj się o co tu biega) f(x)= g(x) i 2m+1≠0 ⇔ (2m+1)x²+(m−1)x+3m=(1−m)x+3 i 2m≠ −1 ⇔ ⇔ (2m+1)x²+2(m−1)x+3(m−1)=0 i m≠−u{1}{2 i Δ= 4(m−1)²−12(m−1)(2m+1)< 0 ⇒ ⇒ (m−1)(m−1−−6m−3)<0 ⇔ (m−1)(−5m−4)<0 ⇔ (m−1)(m+⁴₅)>0 ⇔ m<−⁴₅

pigor: ..., kurcze ,uciekł mi post za wcześnie , a tak naprawdę powinienem rozpatrzyć nierówność słabą warunek 2m+1≤ 0 ⇔ m ≤ −¹₂ wtedy łatwo sprawdzić przez podstawianie, że dla m= −¹₂ także zachodzi nierówność f(x)< g(x), jako funkcje liniowe i równoległe, dlatego moja odp. do zadania jest taka : m∊(−∞;−⁴₅) U {−¹₂} . ...