Równania w dziedzinie zespolonej. edek: Mam takie równanie do rozwiązania: z⁴=(2+2i)⁴

wredulus_pospolitus: no i co z nim

edek: Wiesz jak to rozwiązać w dziedzinie zespolonej?

mała kulka: nie

wredulus_pospolitus: jasne ... np tak krok 1: wylicz ile to jest (2+2i)⁴ krok 2: wyznacz pierwiastki równania z⁴ = ... wartość która obliczysz ... albo tak: krok 1: pierwszy pierwiastek to z=2+2i (logiczne) drugi to będzie jego sprzężenie (także logiczne trzeci i czwarty wyliczysz ze sprzężenia (2+2i)²

ICSP: Znając jeden pierwiastek równania możemy od razu policzyć resztę ze wzoru :

	2kπ		2kπ
zk = z1 * (cos		+ i sin		)
	n		n

k = {0 , 1 , ... n−1} oraz z₁ jest znanym pierwiastkiem.

mała kulka: najpierw najlepiej wzor moveira zastosowac a potem pierwiosnki nawalac te 4

MQ: Można też tak: Przedstawiam 2+2i w postaci r*e^iφ z będzie równe r*e^i(φ+2kπ/4) Wybieramy te wartości k, które dadzą nam wartość argumentu z zakresu <0,2π)

edek: Czy to będzie tak? |z|=√(2+2)⁴=16

	2kπ		2kπ
zk=z1(cos		+isin		)
	n		n

	π		π
ω1=z1(cos		+isin		)
	2		2

ω₂=z₂(cosπ+isinπ)

	3π		3π
ω3=z3(cos		+isin		)
	2		2

ω₄=z₄(cos2π+isin2π)

ICSP: z = ⁴√(2 + 2i)⁴ z₁ = 2 + 2i n = 4 i teraz wstawiasz do wzoru

edek: Acha, no to teraz to inaczej wygląda. ω₁=z₁(cosπ+isinπ) ω₂=z₂(cos4π+isin4π) ω₃=z₃(cos6π+isin6π) ω₄=z₄(cos8π+isin8π)

ICSP: nadal źle z₁ = 2 + 2i

	2π		2π
z2 = (2 + 2i) * (cos		+ isin		)
	4		4

	4π		4π
z3 = (2 + 2i) * (cos		+ isin		)
	4		4

	6π		6π
z4 = (2 + 2i) * (cos		+ isin		)
	4		4

edek: eee.... jeżeli mam wzór:

	2kπ		2kπ
zk=z1(cos		+		)
	n		n

to dlaczego po podstawieniu 2, wyszło

	2π		2π
z2=(2+2i)*(cos		+isin		)
	4		4

a nie:

	4π		4π
(cos		+isin		)?
	4		4

ICSP: Gdyż, ponieważ poplątałem oznaczenia :

	2kπ		2kπ
zk = z0 * (cos		+ i sin		) dla k ∊ {1 ; ... ; n−1} oraz znanego pierwiastka
	n		2

z₀

edek: ok, dzięki wielkie.

edek: mam jeszcze jedno zadanie z liczb zespolonych: √−7−24i czyli |z|=√−7−24 = √−17 nie widzę tego dalej, jakaś podpowiedź?

MQ: |z|=√(−7)²+(−24)² Arg(z)=arctg(−24/(−7))+π, bo 3 ćwiartka

edek: toś pomógł z tym "arctg", nie można tego jakoś za pomocą sin i cos zrobić?

ICSP: rób z definicji. Pierwiastek z liczby zesolonej jest liczbą zespoloną : √−7 − 24i = x + yi gdzie x,y, ∊ R Podnieś obustronnie do kwadratu i kombinuj dalej.

Trivial: W skrócie można zapisać: z_k = z₀e^2kπi/n, k = 0, 1, ..., n−1

Mila: skorzystaj z wzorów skróconego mnożenia z⁴−(2+2i)⁴=0⇔ (z²−(2+2i)²)*(z²+(2+2i)²)=0 (z−(2+2i))*((z+(2+2i))*(z²+4+8i−4)=0 z=2+2i lub z=−2−2i lub (z²+8i)=0 dokończ

Trivial: A √z można policzyć szybko ze wzoru: z = a + bi

	1
√z = ±		(√|z| + a + i*sgn(b)√|z| − a)
	√2

z = −7 − 24i |z| = √49 + 576 = √625 = 25

	1		1
√−7−24i = ±		(√25 − 7 − i*√25 + 7) = ±		(√18 − i*√32) = ±(3 − 4i)
	√2		√2

Trivial: Mila, Twój sposób jest wysoce niewydajny. ε₄ = e^2πi/4 = i z⁴ = (2+2i)⁴ ⇒ z₀ = 2+2i z₁ = i*z₀ = −2 + 2i z₂ = i²*z₀ = −2−2i z₃ = i³*z₀ = 2 − 2i.

Mila: 2)Próba (3−4i)²=9−24i+16i²=9−24i−16=−7−24i √−7−24i=(3−4i) lub √−7−24i=−(3−4i) =−3+4i II sposób √−7−24i=x+yi i x,y∊R⇔ (x+yi)²=−7−24i x²+2xyi−y²=−7−24i x²−y²=−7 i

	−12
2xy=−24 ⇔xy=−12 stąd y=
	x

	−12
x2−(		)2=−7⇔x4−144=−7x2, x2=t, t>0
	x

t²+7t−144=0 Δ=625

	−7−25		−7+25
t=		<0 nie odp. lub t=		=9
	2		2

x=3 lub x=−3 y=−4 lub y=4 z₀=3−4i z₁=−3+4i

ICSP: Jeżeli x² − y² = a 2xy = b to x² + y² = √(x² + y²)² = √x⁴ + y⁴ + 2x²y² = √x⁴ + y⁴ − 2x²y² +4x²y² = = √(x² − y²)² + 4(xy)² = √a² + 4b² √−7 − 24i x² − y² = −7 xy = −12 x² + y² = √49 + 576 = 25 Mamy zatem x² + y² = 25 x² − y² = −7 2x² = 18 x² = 9 ⇒ x = 3 v x = −3 i odpowiednio y = −4 v y = 4 Wystarczy zatem zapamiętać wzór na x² + y² Potem dodać stronami równania pierwsze i trzecie i od razu dostajemy x.