równanie trygonometryczne Szymon: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 1 + sin²(mx) = cosx ma tylko jedno rozwiązanie. Ma ktoś pomysł jak to ugryźć ?

Szymon: nikt ?

Szymon:

Maslanek: Da się cos x ∊ [−1,1] Więc jeśli równość ma zachodzić, to musi być cosx=1 i sin(mx)=0 To rozwiązujemy układ równań: cosx=1 sin(mx)=0 Mamy: x=2kπ mx=lπ Bo nie muszą być określone jednocześnie dla tego samego k. Wtedy musielibysmy mieć, np. dla k=1: x=2π, mx=π. Ale przecież równie dobrym rozwiązaniem jest x=2π i mx=10π. Prawda? To mamy dalej: x=2kπ; k∊C

	l
x=		π ; m≠0; l∊C
	m

	l		l		l
Czyli 2kπ=		π. Skąd: 2k=		. Czyli: 2=		.
	m		m		m*k

Albo lepiej: 2m*k=l Z tego wynika, że l musi być liczbą parzystą Ponieważ k∊C, to na pewno m∊Q. Bo gdyby było inaczej to mielibyśmy równość niewymiernej i

	l
wymiernej liczby, co jest niemożliwe. I być postaci		, zatem na pewno należy do Q.
	2k

Ale wtedy mielibyśmy nieskończoną liczbę rozwiązań W takim razie cofamy się

	l		l
mamy 2k=		, skąd m=		, gdzie k≠0. Po prawej stronie mamy liczbę wymierną, więc
	m		2k

równość na pewno nie zachodzi dla m∊R\Q Dla reszty mamy nieskończenie wiele rozwiązań, bo możemy tak dobrać l i k, żeby równość zachodziła.

	l
Zatem jeśli m∊R\Q i weźmiemy równanie nieprzekształcone 2k=		, to równość zachodzi tylko
	m

dla k=0, l=0 ⇒ x=0. I to jest rozwiązanie ostateczne

Szymon: dzięki stary, nie wiem jak Ci się odwdzięczę