Granica ciągu niedouczona:

	2
Korzystając z definicji granicy ciągu, wykaż, że liczba		jest granicą ciągu o wyrazie
	7

	n2+n−1
ogólnym an=		.
	7n2+1

	n2+n−1
Ktoś wie jak to zrobić? Bo z nierówności |		|<ε dochodzę do postaci
	7n2+1

	7n+9
		<ε i po tym nie wiem jak uzyskać samo n.
	49n2+7

Basia:

7n+9		7n
	<		dla każdego n≥3
49n2+7		50n2

zatem wystarcza aby było

7n		7
	=		< ε
50n2		50n

	7n+9
ale skąd wzięłaś		?
	49n2+7

niedouczona: To wzięło mi się z obliczeń tej nierówności, tam wyżej ją źle napisałam − powinno tam być

	n2+n−1		2
|		−		|<ε.
	7n2+1		7

Basia:

	2
granicą tego ciągu nie jest liczba
	7

nie da się więc udowodnić nieprawdy

niedouczona: Aha, myślę że już rozumiem. Wygląda na to, że zabrałam się za to od kompletnie nie tej strony, co należy.

Basia:

	n2+n−1		1
|		−		| < ε
	7n2+1		7

	7n2+7n−7−7n2−1
|		| < ε
	7(7n2+1)

	7n−8
|		| < ε
	49n2+7

dla n≥2 7n − 8 > 0 49n²+7>0 dla każdego n można więc sobie |...| podarować

7n−8
	< ε
49n2+7

7n − 8 < 7n dla każdego n 49n²+7 > 49n² dla każdego n zatem

	7n2−8		7n		1
∀n		<		=
	49n2+7		49n2		7n

wystarczy zatem zbadać warunek

1
	< ε
7n

1
	< n
7ε

stąd:

	n2+n−1		1		1
∀ε>0 ∃n0=max(1/(7ε);2) ∀n>n0 |		−		| <		< ε ⇒
	7n2+1		7		7n

	n2+n−1		1
limn→+∞		=
	7n2		7